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Instabilitäten und Homogenisierung in diskreten und heterogenen nichtlinearen Reaktions-Diffusions-Gleichungen

16.03.2010

Viele wichtige Gleichungen der klassischen und modernen Physik sind linearen partielle Differentialgleichungen, die Größen beschreiben, die kontinuierlich von Raum und Zeit abhängen. Seit 1990 hat sich die mathematisch-theoretische Forschung vermehrt nichtlinearen Evolutionsgleichungen zugewandt. Eine wichtige Klasse hierbei sind Reaktions-Diffusions-Gleichungen, die wichtige Anwendungen in biologischen und chemischen Systemen haben. So werden viele Prozesse in der Zellbiologie und insbesondere die Ausbreitung elektrischer Signale im menschlichen (und tierischem) Herzen mit Reaktions-Diffusions-Gleichungen modelliert. Dies eröffnet die Möglichkeit Biosignale wie das Elektro- (EKG) oder Magnetokardiogramm (MKG) realistisch zu simulieren. Andererseits ist aber bekannt, dass sich Herzgewebe aus relativ großen Muskelzellen (Länge 100 Mikrometer) zusammengesetzt, die untereinander durch sogenannte Gap Junctions gekoppelt sind. Elektrische Signale im Herzen breiten sich mithin in einem grobkörnigen diskreten Medium aus. Wissenschaftlern im Fachbereich mathematische Modellierung und Datenanalyse haben neue Erkenntnisse zum Einfluss der diskreten Struktur sowie der Heterogenität eines Mediums auf die Ausbreitung und Stabilität nichtlinearer Wellen erhalten. Beide Aspekte (Heterogenität und Diskretheit) können dreidimensionale Wellen destabilisieren (Abbildungen 1 und 2, [1]), was im Falle des Herzen zu lebensbedrohlichen Rhythmusstörungen (Kammerflimmern) führen kann. In einer weiteren Arbeit konnten zudem die Bedingungen gefunden werden, für die ein Kontinuumsmodell eine hinreichende Näherung darstellt: Wenn die Längenskala der Wellenfront deutlich größer ist als die Längenskala der Heterogenität oder die Diskretheit im Medium, beschreibt ein Kontinuumsmodell, das durch ein so genanntes Homogenisierungsverfahren erhalten werden kann, die Dynamik quantitativ korrekt [2].


[1] S. Alonso, M. Bär, A. Panfilov, eingereicht (2010).
[2] S. Alonso, R. Kapral, M. Bär, Phys. Rev. Lett. 102, 238302 (2009).




Dynamik von dreidimensionalen rotierenden Wellen aus einer  Anfangsbedingung für Medien mit zunehmer Diskretheit (a - c) bei  identischern Anfangsbedingungen und gleicher lokaler Dynamik.

Abbildung 1: Dynamik von dreidimensionalen rotierenden Wellen aus einer Anfangsbedingung für Medien mit zunehmer Diskretheit (a – c) bei identischern Anfangsbedingungen und gleicher lokaler Dynamik.


Dynamik von dreidimensionalen rotierenden Wellen aus einer  Anfangsbedingung für Medien mit zunehmer Diskretheit (a – c) bei  identischern Anfangsbedingungen und gleicher lokaler Dynamik.

Abbildung 2: Dynamik von dreidimensionalen rotierenden Wellen aus einer Anfangsbedingung für Medien mit zunehmer Heterogenitäten (a – c) bei identischen Anfangsbedingungen.

Ansprechpartner:

Dr. S. Alonso, AG 8.41,
PD Dr. M. Bär, FB 8.4