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Mathematische Modellierung und Simulation

Arbeitsgruppe 8.41

Aktive Materie

Aktive Materie beschreibt Systeme deren Teilchen, gespeicherte oder aus der Umgebung aufgenommene Energie (teilweise) in gerichtete Bewegung umzuwandeln können. Durch die Wechselwirkung der Teilchen untereinander und/oder mit dem umgebenden Medium können kollektive Effekte auftreten und Strukturen fern vom Gleichgewicht entstehen. Vor allem bei biologischen Systemen sind die Wechselwirkungen der Teilchen und damit die Ursachen der kollektiven Effekte häufig unbekannt. Die Modellierung der aktiven Teilchen kann hier wertvolle Hinweise auf mögliche Ursachen liefern.

Bakteriensuspensionen

Modell

Einige gut untersuchte Bakterienarten, wie zum Beispiel Bacillus subtilis oder Escherichia coli haben sich in den letzten Jahrzehnten zu einem wichtigen Modellsystem für die Untersuchung kollektiver Eigenschaften selbst-angetriebener Teilchen entwickelt. Derartige Bakterien bewegen sich im Wasser durch rotierende Flagellen fort. Die Bewegung der rotierenden Flagellen erzeugt eine charakteristische Strömung des umgebenen Fluids. Die Strömung eines einzelnen Bakteriums im Fernfeld, gemittelt über einen Schwimmschlag kann in guter Näherung durch die Wirkung eines Kräftedipols beschrieben werden. Hierbei nimmt man an, dass die Kräfte von den Flagellen und  der Zelle auf das Fluid wirken (siehe Abb. 1).  

Abbildung 1: Modell eins Bakteriums mit Flagellen. Die Kräfte wirken derart auf das umgebene Fluid, dass der Schwimmer kräftefrei ist.

Die Bewegung von sehr vielen Bakterien wird dann durch die Bewegung der einzelnen Bakterien und der Dynamik der umgebenden Flüssigkeit bestimmt. In einem einfachen mikroskopischen Modell wurden Langevin-Gleichungen für die Positions- und Orientierungsänderung der Bakterien an eine Stokes-Gleichung für die Dynamik des umgebenen Fluids gekoppelt. Für Suspensionen, die aus sehr vielen Bakterien bestehen, lassen sich aus den mikroskopischen Gleichungen Kontinuumsgleichungen ableiten. Dabei wird für die mittlere Orientierung der polare Ordnungsparameter P definiert. Als Resultat erhält man eine Relaxationsgleichung für den polaren Ordnungsparameter P, die an die Stokes-Gleichung für das umgebene Fluid u gekoppelt ist. Die Kopplung zwischen der Orientierung, dem Selbstantrieb und  der Dynamik von u bewirken, dass sich die Bakterien ohne äußere Kräfte turbulent bewegen.

Mesoskalen-Turbulenz und Wirbelgitter

Abbildung 2: Simulation einer dichten Bakteriensuspension in 3D. Stromlinien stellen die Geschwindigkeit der Bakterien und der Farbcode die Vortizität dar.

Experimentelle Untersuchungen von z.B. Bacillus subtilis und Simulationen von turbulenten Bakteriensuspensionen zeigen eine Besonderheit auf. Anders als bei der Turbulenz im herkömmlichen Sinn, wie sie bei Simulationen mit der Navier-Stokes Gleichung zu beobachten ist, ist die Wirbeldynamik auf einen Mesoskalenbereich beschränkt. Dies führt dazu, dass Wirbel im Mittel mit einer charakteristischen Größe auftreten. Dieses Phänomen lässt sich sehr gut durch die Kontinuumsgleichungen beschreiben, die wir aus einem mikroskopischen Modell abgeleitet haben. Daher lässt sich die auftretende Wirbelgröße in Verbindung mit den Eigenschaften des einzelnen Schwimmers bringen. Demnach ergibt sich die  charakteristische Wirbelgröße aus einem Wechselspiel zwischen der lokalen Ausrichtung der Bakterien, des Selbstantriebs und der erzeugten Strömung. Es kann ferner gezeigt werden, dass die Wirbelgröße linear von der Größe des Kraftdipols abhängt. Durch diese Besonderheiten zeichnet sich die Turbulenz, die so nur in aktiven Fluiden auftritt, als neuartig aus (Abb.2).

 

Experimente mit dichten Suspensionen von Bacillus subtilis haben unlängst die Existenz dynamischer Wirbelstrukturen gezeigt, welche an Turbulenz erinnern, jedoch Eigenschaften aufweisen, die sich wesentlich von der Turbulenz klassischer Fluide unterscheiden. Insbesondere bilden sich effektive Längenskalen  heraus, die größer als einzelne Teilchen aber kleiner als die Systemgröße sind. Dieses Phänomen wird als Mesoskalenturbulenz bezeichnet. Dieses Phänomen lässt sich qualitativ durch Kontinuumsgleichungen beschreiben (Abb.2), die wir aus einem mikroskopischen Modell abgeleitet werden können oder aber durch   ein einfaches Modell aktiver Teilchen mit konkurrierenden Wechselwirkungen [Großmann et.al., Phys.Rev.Lett., 2014; Großmann et.al., Eur.Phy.J.Spec.Top. 224, 2015]. Dadurch entstehen komplexe Muster, wie beispielsweise Wirbelgitter und Mesoskalenturbulenz, siehe Abb. 3.

 

Fig. 3: Mesoskalenturbulenz (links) und Wirbelgitter (rechts) in einer Simulation selbst-angetriebener Teilchen mit konkurrierenden Wechselwirkungen.

Aktive viskoelastische Modelle für Strömungen in Zellen

Motivation

Biophysiker und Zellbiologen interessieren sich seit einiger Zeit dafür, wie sich räumliche Strukturen in Zellen und Geweben spontan ausbilden und welche physikalischen, chemischen und biologischen Mechanismen hierfür entscheidend sind. Während biochemische und genetische Prozesse als treibende Kräfte seit langem untersucht werden, stehen in letzter Zeit zunehmend mechanische Kräfte und die in der Zelle dadurch entstehenden Strömungsprozesse im Fokus. Die Kenntnis der Dynamik solcher mechanischen und chemischen Prozesse in Zellen ist entscheidend für das Verständnis wichtiger biologischer Aspekte wie der Zellbewegung und der Entwicklung von Zellgeweben.

Mechanische Kräfte werden durch die Kontraktion von Bündeln des Biopolymers Aktin erzeugt. Diese Bewegung wiederum entsteht durch die Aktivität von Myosinmolekülen, die zu den molekularen Motoren zählen. Damit durch diesen Prozess biologische Strukturen entstehen können, müssen sich die myosinregulierenden Kalziumionen in der Zelle neu verteilen, was eine Rückkopplung auf die Mechanik der Aktinbündel bewirkt.

Modell und Simulation

An der PTB werden in Kooperation mit der AG Engel an der TU Berlin  Modelle entwickelt, die das Zellinnere als viskoelastisches Material betrachten. Insbesondere die Beschreibung einer Zelle als poröses und elastisches (also poroelastisches) Medium beschreibt, wurde erfolgreich auf den biophysikalischen Modellorganismus Physarum polycephalum angewendet. Physarumzellen enthalten sehr viele Zellkerne und erreichen makroskopische Ausmaße. Dabei nehmen sie komplexe Formen an. Wenn eine kleine Menge an Zellplasma aus größeren Zellen entnommen wird, bilden sich zylinderförmige Mikrotröpfchen. Darin lassen sich die verschiedensten Deformationswellen (vgl. Abbildung) beobachten, die nun erfolgreich mit dem PTB-Modell reproduziert werden konnten. Das Modell sagt zudem eine enge Kopplung der mechanischen Prozesse an die intrazelluläre Fluiddynamik und die lokale Kalziumkonzentration voraus.  Diese Simulationen dienen auch der quantitativen Überprüfung von dynamischen Prozessen in Zellen und sollen neue Messungen von intrazellulären Strömungen und räumlichen Verteilungen von Kalzium und Aktin (z. B. durch Fluoreszenzmethoden) sowie von mechanischen und elastischen Eigenschaften des Zellmaterials anregen.

Diese numerischen Simulationen des poroelastischen Modells zeigen die Mikrotröpfchen mit verschiedenen Strukturen. Von oben rechts im Uhrzeigersinn: turbulente Strukturen, rotierende Spiralwellen, Antiphasenoszillation sowie von rechts nach links laufende „ebene“ Welle. Die Farben zeigen Regionen von mechanischer Kontraktion (blau) und Relaxation (rot) an, die Strömungsbewegungen mit Geschwindigkeiten der Größenordnung von 0,1 – 1 Mikrometer pro Sekunde verursachen.

Aktive Stäbchen und Myxobakterien

Motiviert durch die vielfältigen dynamischen Strukturen, die während des Lebenszyklus von Bakterien der Spezies Myxococcus xanthus beobachtet werden, wurden verschiedene Modelle aktiver Stäbchen entwickelt, simuliert, analysiert und mit Messungen verglichen. Ausgedehnte aktive Stäbchen in zwei Dimensionen mit Excluded-Volume-Wechselwirkungen zeigen beispielsweise eine starke Tendenz zur Clusterbildung [Peruani et.al., Phys. Rev. E, 2006], die mit einem typischen Phasenübergang in der Clustergrößenverteilung verbunden ist. Diese Modellvorhersagen wurden später in Experimenten mit Myxobakterien bestätigt [Peruani et.al., Phys. Rev. Lett., 2012]. Vereinfachte Modelle erlauben die Simulationen von Millionen aktiver Stäbchen und zeigen interessante makroskopische Muster wie nematische Bänder und turbulente Fragmente als Regionen hoher Dichte [Ginelli et.al., Phys. Rev. Lett., 2010]. Die Analyse der nichtlinearen Dynamik dieser Bänder und ihre Beschreibung durch effektive hydrodynamische Gleichungen ist Gegenstand aktueller Forschung.

Diffusion aktiver Teilchen mit Bewegungsumkehr

Die Charakterisierung der Bewegung von Mikroorganismen ist zentral für das Verständnis, wie Bakterienkolonien wachsen sowie für die Nahrungssuche dieser Lebewesen und ihr kollektives Verhalten. Verschiedene Spezies von Bakterien, beispielsweise Myxococcus xanthus oder Pseudomonas putida, bewegen sich gemäß einer "run-and-reverse"-Strategie, d.h. persistente Bewegung ("runs") sind unterbrochen durch plötzliche Umkehr der Bewegungsrichtung ("reversal"). Unsere Analyse der "run-and-reverse"-Bewegungsform legt nahe, dass optimale Parameterwerte im Sinne einer maximalen Ausbreitungseffizienz existieren [Großmann et.al., New J.Phys., 2016] -- eine wichtige Voraussetzung für eine effiziente Nahrungssuche.

Synchronisation gekoppelter Oszillatoren

Ein elementares kollektives Phänomen mehrerer Oszillatoren ist die Synchronisation, bei dem die Phasendifferenz der Oszillatoren konstant wird. Wir untersuchen verschieden Situationen in denen die Synchronisation gekoppelter Oszillatoren eine Rolle spielt. Es zeigt sich zum Beispiel, dass in einem minimalen Modell [Niedermayer et.al., Chaos 18, 2008] die hydrodynamischen Wechselwirkungen ausreichen um die beobachtete Synchronisation von Zilien zu erklären. Eine Erweiterung des Modells ermöglicht darüber hinaus weitere kollektive Phänomene. In vielen biologischen Systemen spielt zusätzlich die Bewegung einzelner Entitäten und die Synchronisation innerer Freiheitsgrade entscheidend zusammen. Aus theoretischer Sicht stellt sich die Frage, welchen Einfluss die Bewegung der Oszillatoren auf das Synchronisationsverhalten des Gesamtsystems hat. Anhand eines teilchenbasierten Modells in Verbindung mit einer Feldtheorie wurde eben dieses Wechselspiel von Synchronisation und Teilchentransport studiert. Es stellt sich heraus, dass die Musterbildung entscheidend vom Teilchentransport abhängt und insbesondere aktive Bewegung die Ausbildung synchronisierter Zustände fördert [Großmann et.al., Phys.Rev.E., 2016].

Publikationen

2016

S. Heidenreich, J. Dunkel, H. Klapp and M. Bär
Physical Review E, 94(2),
020601,
2016.
S. Alonso, U. Strachauer, M. Radszuweit, M. Bär and M. Hauser
Physica D, 318
58-69,
2016.
A. Oza, S. Heidenreich and J. Dunkel
Eur. Phys. J. E, 39(10),
97,
2016.

2014

M. Radszuweit, H. Engel and M. Bär
PloS one, 9(6),
e99220,
2014.
S. Heidenreich, S. H. L. Klapp and M. Bär
J.Phys.: Conf. Ser., 490(1),
012126,
2014.

2013

J. Dunkel, S. Heidenreich, K. Drescher, H. H. Wensink, M. Bär and R. E. Goldstein
Phys. Rev. Lett., 110
228102,
2013.
M. Radszuweit, S. Alonso, H. Engel and M. Bär
Phys. Rev. Lett., 110(13),
138102,
2013.
J. Dunkel, S. Heidenreich, M. Bär and R. E. Goldstein
New J. Phys., 15(4),
045016,
2013.

2012

H. H. Wensink, J. Dunkel, S. Heidenreich, K. Drescher, R. E. Goldstein, H. Löwen and J. M. Yeomans
Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A., 109(36),
14308--13,
2012.

2010

M. Radszuweit, H. Engel and M. Bär
Eur. Phys. J. - Special Topics, 191(1),
159--172,
2010.
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