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Mathematische Modellierung und Simulation

Arbeitsgruppe 8.41

Partielle Differentialgleichungen mit Unsicherheiten

Eine Kernaufgabe der Metrologie ist die Bestimmung von Messunsicherheiten.  Nach internationaler Übereinkunft werden Messunsicherheiten entsprechend des „Guide to the expression of uncertainties in measurements" (GUM) und dessen Erweiterungen bestimmt. Hierbei werden für nichtlineare Probleme auftretende Störungen als Zufallsvariablen aufgefasst und ihr Einfluss auf die Monte Carlo Methode untersucht. In vielen modernen Anwendungen treten Partielle Differentialgleichungen (PDE) auf, die mit Hilfe finite Elemente Methode gelöst werden. Solche Methoden sind rechenintensiv und die Bestimmung der Messunsicherheiten nach GUM ist oft nicht möglich. Unser Ziel ist es effiziente Methoden zu entwickeln, die die Bestimmung der Messunsicherheiten GUM-konform für rechenintensive Anwendungen ermöglicht.

Einleitung

Um den Effekt von unsicheren Parametern einer PDE auf deren Lösungen zu untersuchen, definiert man sich  i.a. eine Abbildung dieser Parameter auf die Lösung der PDE.  Eine derartige Abbildung heißt Vorwärtsmodell (Forward model). Die unsicheren Parameter (auch Eingangsgrößen) werden durch Wahrscheinlichkeitsverteilungen dargestellt. Ziel ist es, die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Lösungen der PDE, oder davon abgeleitete Größen (auch Ausgangsgrößen) zu bestimmen (Abb1).

Abbildung 1: Illustration zur Propagation von Unsicherheiten durch ein Vorwärtsmodell.

Methoden

Sampling

Bei diesen Methoden wird aus der Verteilung der Eingangsgrößen zufällig einen Wert gezogen. Für diesen Wert bestimmt man mit Hilfe des Vorwärtsmodells die Ausgangsgröße. Durch mehrmalige Wiederholungen entsteht aus den berechneten Ausgangsgrößen eine Verteilung. Im Allgemeinen müssen hierfür sehr viele Vorwärtsrechnungen durchgeführt werden.  Die Wahl der Sampling Methode kann zu einer Reduktion der notwendigen Vorwärtsrechnungen führen. In vielen Anwendungen ist beispielsweise die Latin-Hypercube Sampling Methode effektiver und benötigt daher für die gleiche Genauigkeit weniger Berechnungen, als die Monte-Carlo Methode.

Polynomiales Chaos

Abbildung 2: Vergleich des Polynomchaos-Verfahrens für 2, 5, 10, 20 und 50 Funktionsauswertungen mit einem Quasi-Monte-Carlo-Verfahren mit 100 Auswertungen sowie mit der exakten Lösung zur Bestimmung der Varianz eines Einströmprofils.

Bei der  Polynomchaos-Methode wird die Ausgangsgröße durch eine gewichtete Summe von Orthogonalpolynomen approximiert. Die Gewichte sind dabei als Integrale über den (mehrdimensionalen) Parameterraum definiert. Die Integration erfolgt über ein Produkt, bei dem ein Teil durch das zugrunde liegende deterministische Problem bestimmt ist, während der andere Teil sich durch Auswertung der Orthogonalpolynome ergibt.
Die Polynomchaos-Methode ermöglicht es, die erwarteten Abweichungen sowie deren Varianz äußerst effizient zu berechnen. Im Vergleich zu einem Monte-Carlo-Verfahren benötigt sie, zumindest für eine kleine Anzahl an unsicheren Parametern, eine geringere Anzahl an Auswertungen des zugrunde liegenden deterministischen Problems, siehe auch Abb. 2 Daher kann die Polynomchaos-Methode auch für rechenintensive Anwendungen wie beispielsweise die Strömungssimulation verwendet werden.

Surrogate Modelle

Bei den Surrogate-Modellen wird das rechenintensive Vorwärtsproblem durch einfache Funktionen approximiert. Dafür werden für bestimmte Eingangsgrößen (Trainingspunkte) die Ausgangsgrößen mit dem rigorosen Vorwärtsmodell berechnet und daraus ein Modell aufgebaut, welches für weitere Eingangsgrößen die Ausgangsgrößen durch einfache Funktionsauswertungen bestimmen kann. Für Strömungssimulationen oder FEM-Berechnungen  elektromagnetischer Felder kann die Berechnung um einige Größenordnungen beschleunigt werden. Mit Hilfe von Surrogate-Modellen lassen sich auch rechenintensive Problem mit Monte-Carlo Verfahren behandeln. Abb. 3 zeigt schematisch die Bestimmung von Beugungsmustern an Nanolinien (Scatterometrie). Der obere Pfad stellt die rigorose FEM Berechnung dar, die ca. 2min dauert. Der untere Pfad stellt die Berechnung mit einem Surrogate Modell dar (unter 1s). Die hierbei benötigte Zeit zum konstruieren des Surrogate-Modells betrug 20h.

Abbildung 3: Illustration für den Einsatz eines Surrogate-Modells. Das Surrogate-Modell ersetzt zeitaufwändige FEM Berechnungen.

Inverse Probleme

Bei indirekten Messungen ist es notwendig für die Bestimmung von Messunsicherheiten ein statistisches inverses Problem zu lösen. Ein flexibles Verfahren zur Lösung statistischer inverser Probleme unter der Hinzunahme von Vorinformationen ist das Bayessche Verfahren. Für metrologische Anwendungen ist die Berücksichtigung von Vorinformationen vorteilhaft, da es die hybride Auswertung verschiedener Messungen ermöglicht, um die Messunsicherheit zu reduzieren (Hybridmetrology).  Der Satz von Bayes bildet die Grundlage für diese Verfahren. Dabei wird das Vorwissen über eine bestimmte Messgröße ($\pi_0$) mit der Information aus der Messung (Likelihood-Funktion $\mathcal{L}$) zu einem verbesserten Wissen dieser Größe zusammenfügt, d.h.

\[\pi (\theta;{\bf y} ) = \frac{\mathcal{L}(\theta;{\bf y})\pi_0(\theta)}{\int \mathcal{L}(\theta;{\bf y})\pi_0(\theta) d\theta }.\]

Das Ergebnis ist eine Verteilung für die indirekten Messgröße (Posterior-Verteilung $\pi$ ). Für die Bestimmung dieser Verteilung  ist es notwendig, das rechenintensive Vorwärtsmodell viele Male zu berechnen. Dauert eine Vorwärtsrechnung einige Minuten, kann die Bestimmung der Posterior-Verteilung Monate dauern. Durch die Verwendung des Vorwissens (der Verteilung $\pi_0$) können effektive Approximationen der Posterior-Verteilung mit Hilfe z.B. der Polynomialchaos-Methode entwickelt werden. Das Ergebnis einer Berechnung die vorher Monate gedauert hat, kann damit in einigen Stunden bestimmt werden.

 

 

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Anwendungen

Strömungsmechanik

Abbildung 4: Abweichung des simulierten Messgeräts in Abhängigkeit vom Abstand zum Krümmer (türkis: Erwartungswert, rot: Standardabweichung, blau: maximale Abweichung.

Da die Polynomchaos-Methode nur eine geringe Anzahl an Auswertungen des zugrunde liegenden deterministischen Problems benötigt, kann sie sehr gut für rechenintensive Anwendungen wie beispielsweise die Strömungssimulation verwendet werden.

In Kooperation mit der AG 7.52 wurde mit Hilfe der Polynomchaos-Methode und numerischer Strömungssimulation unter anderem der Einfluss gestörter Einströmprofile auf das Messergebnis eines Einstrahl-Ultraschall-Durchflussmessgerätes untersucht. Die gestörten Profile wurden dabei durch zwei aufeinander folgende Krümmer erzeugt. Dieser Fall ist für die Metrologie von besonderem Interesse, da in der Praxis häufig eine Reihe von Raumkrümmern aufeinander folgen, was zu erheblichen Messfehlern führen kann.

Abb. 1 zeigt den erwarteten Fehler des am simulierten Messgerät angezeigten Volumenstroms (in türkis) sowie dessen Standardabweichung (in rot). Außerdem ist die maximale Abweichung der Vorhersage zum exakten Volumenstrom in blau eingezeichnet. Man sieht, dass bei den vorliegenden Konfigurationen das Messgerät den Durchfluss im Mittel unterschätzt. Mit größerem Abstand zwischen Doppelkrümmer und Messgerät sinkt der Mittelwert des Fehlers von rund 4% auf nahe 0%.

Scatterometrie

Abbildung 5: Schnitt einer EUV-Maske mit Absorberlinie und Multilayer-Stack.

Die zweite Anwendung umfasst das statistische inverse Problem in der Scatterometrie. Die Scatterometrie ist eine indirekte optische Messung, bei  nano-strukturierte Oberflächen vermessen werden. Insbesondere lassen sich Linienbreiten, Linienhöhen und Winkel von Photomasken zerstörungsfrei vermessen. Deren präzise Herstellung ist insbesondere für die Halbleiterfertigung von großem Interesse.

In Abb 5. ist ein Querschnitt der EUV-Maske dargestellt, die hier untersucht wurde. Das Vorwärtsmodell ist gegeben durch  die Abbildung der Liniengeometrie auf die gemessenen Beugungsmuster. Rigoros berechnet wurden die Beugungsmuster mit Hilfe eines FEM-Lösers (DIPOG, WIAS). Für die Geometrieparameter: Linienbreite, Linienhöhe und Seitenwinkel wurde eine Anfangsverteilung gewählt ($\pi_0$) und ein Surrogate-Modell basierend auf der Polynomchaos-Methode konstruiert. Die Posterior-Verteilung konnte mit dieser Methode in einigen Stunden unter Verwendung der Markov-Chain-Monte-Carlo Methode bestimmt werden (verglichen zu einem halben Jahr, die die rigorose Methode benötigte). Abb. 6 zeigt die Verteilungen für die Geometrieparameter. Die grün gestichelten Linien geben die Referenzwerte an.

Abbildung 6: Verteilungsfunktionen der der Geometrieparameter (von links) Linienbreite, Linienhöhe und Seitenwinkel. Die gestrichelte grüne Linie entspricht dem Referenzwert.

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Publikationen

2017

S. Heidenreich, H. Gross, M. Bär and L. Wright
Measurement, 97(79--87),
2017.

2016

A. Weissenbrunner, A. Fiebach, S. Schmelter, M. Bär, P. Thamsen and T. Lederer
Flow Measurement and Instrumentation,
2016.
S. Schmelter, A. Fiebach and A. Weissenbrunner
tm-Technisches Messen, 83(2),
71-76,
2016.

2015

A. Weissenbrunner, A. Fiebach, S. Schmelter, M. Straka, M. Bär and T. Lederer
Proceedings of Imeko 2015 XXI World Congress Measurement in Research and Industry,
2015.
S. Heidenreich, H. Gross and M. Bär
International Journal for Uncertainty Quantification,
511,
2015.
S. Schmelter, A. Fiebach, R. Model and M. Bär
Int. J. Comp. Fluid. Dyn., 29(6-8),
411-422,
2015.

2014

S. Heidenreich, H. Gross, M.-A. Henn, C. Elster and M. Bär
J. Phys. Conf. Ser., 490(1),
012007,
2014.
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