Modellierung der Wellenfrontaberrationen reduziert Unsicherheiten bei der Volumenmessung der Avogadro-Kugeln

Für die für 2018 geplante Neudefinition des Kilogramm soll die Planck-Konstante, h, mit einer relativen Unsicherheit nicht über 2×10^-8 bestimmt werden. Die PTB folgt dabei mit der XRCD-Methode (x-ray crystal density) einem internationalen Ansatz zur Bestimmung der Avogadro-Konstanten, aus der sich dann durch Erweiterung mit wenigen Fundamentalkonstanten die Planck-Konstante berechnen lässt. In der XRCD-Methode werden für einen Silizium-Einkristall die molare Masse und der Gitterparameter sowie die Dichte zweier aus diesem Kristall gefertigter Kugeln gemessen. Der wesentliche Unsicherheitsbeitrag dieser Messmethode war bisher durch die Volumenbestimmung der Si-Kugeln gegeben.

Für die Volumenbestimmung einer Si-Kugel wird ein speziell konzipiertes Kugelinterferometer eingesetzt. Es handelt sich dabei um ein beidseitig antastendes Fizeau-Interferometer, das zum einen gegenüberliegende Oberflächen der Kugel misst, in einem zweiten Schritt durch Herausfahren der Kugel auch die Dimension des aus zwei sphärischen Referenzflächen bestehenden Resonators bestimmen kann. Aus der Differenz beider Messungen ergeben sich die Durchmesser der Kugel im betrachteten, durch die Öffnung der Objektive bestimmten Segments. Durch Neuorientierung der Kugel kann mit geeigneten Überlappungsstrategien die komplette Oberfläche der Kugel abgedeckt werden und so eine Durchmessertopographie der Kugel erstellt werden.

Als größte Unsicherheitsbeiträge für die Volumenbestimmung treten neben die Temperatur (thermische Längenausdehnung der Siliziumkugel) mögliche Aberrationen der Wellenfront. Diese können auftreten durch imperfekte Stellung der optischen Bauteile sowie durch retrace-Fehler, wenn die senkrechte Reflektion der Strahlen durch Oberflächenabweichungen von der perfekten Kugelform gestört wird. Um diese Einflüsse zu quantifizieren, wurde nach und nach der gesamte optische Aufbau im Computer in C++ modelliert und nachfolgend die Messsequenz der eingesetzten Phasenverschiebungsinterferometrie sowie der Teilmessungen simuliert. Versuche, dies mit kommerziell verfügbarer Raytracing-Software durchzuführen, scheiterten an der notwendigen Auflösung und der Validierung der Einzelschritte. Mittels aufwändiger Monte-Carlo-Simulationen konnten zunächst die Einflüsse möglicher Fehlstellungen der Optiken untersucht werden. Hierfür war es notwendig, die Justierungsstrategien für die Grundjustage des Interferometers in der Software mit abzubilden, da sich oft gegenseitige Verschränkungen zwischen den optischen Bauelementen ergeben. In einem zweiten Schritt wurde die zuvor mathematisch ‚runde‘ Kugel durch die in Kugelflächenfunktionen umgesetzte Repräsentation einer typischen, gemessenen Kugel ersetzt. Die Formabweichungen führen jetzt zu Laufweg-Abweichungen, die die reale Kugelform verfälschen können. Da hier jedoch, im Gegensatz zum Experiment, die ‚wahre‘ Kugelform bekannt ist, kann die Abweichung zwischen Simulations-Eingangsform und Simulations-Ergebnis berechnet werden. Und, noch weiter, können durch Anpassung der Amplitude der Kugelflächenfunktionen Untersuchungen bezüglich Anzahl und peak-to-valley-Höhe von Oberflächenstrukturen gemacht werden. Nachdem das Verfahren durch Vergleiche und analytische Berechnungen validiert wurde, konnten erste Ergebnisse gewonnen werden. So ergeben sich für große Abweichungen von der Kugelform (> 100 nm), wie man es aus analytischen Überlegungen für interferometrische Messungen erwartet, Abweichungen zwischen realer Form und simulierter Messung, die proportional zur Ableitung der Oberflächenstrukturen sind. Mit größer werdendem ‚slope‘, d.h. an den Flanken topografischer Strukturen, erhöhen sich die Abweichungen der gemessenen Radiuswerte, während die Werte in den Bereichen der Maxima und der Minima weitestgehend mit denen der Originalstruktur übereinstimmen. Interessanterweise ist die Berechnung des Gesamtvolumens einer solchen Kugel bis zu großen p-v-Werten unbeeinträchtigt und zeigt erst ab (in der Realität nicht vorkommenden) Werten von 500 nm p-v eine der Gesamt-Volumen-Unsicherheit entsprechende Volumenabweichung. Für die bei der heutigen Fertigung typischen Formabweichungen von etwa 30 nm p-vRadius stimmt der Volumenwert der gemessenen Kugel mit dem der Eingangskugel überein. Durch die Simulationssoftware ist damit erstmals die Möglichkeit gegeben, die Unsicherheiten der interferometrischen Volumenmessung aufgrund von möglichen Fehlstellungen der optischen Bauteile (Justage-Unsicherheit) sowie aufgrund möglicher Wellenfrontfehler durch Rundheitsabweichungen realer Kugeln (Kugeltopografie) quantitativ zu bestimmen und so die Gesamtunsicherheit gegenüber den bisher nur groben Abschätzungen deutlich zu reduzieren.

Literatur:

[1] T. Mai, A. Nicolaus: Optical simulation of the new PTB sphere interferometer, Metrologia: 54 (2017), 4, 487 - 493