04.01.2016
Ein quantitatives Messergebnis besteht aus einem Messwert und dessen Unsicherheit. Der Messwert wird oft als gewichteter Mittelwert von Messwerten mehrerer gleichwertiger Einzelmessungen ermittelt. Der Teil der Unsicherheit, der aus der Streuung der Einzelmesswerte resultiert, wird meist als statistische Unsicherheit bezeichnet und hängt bei gegebenen Fluktuationen der Messgröße, z.B. durch Rauschen, von der Wahl der Gewichtung ab. Dies spielt bei Frequenzmessungen an Oszillatoren mit unterschiedlichen Rauscheigenschaften und insbesondere bei Frequenzvergleichen von Atomuhren über Satelliten- oder Faserlinks eine wichtige Rolle, da dort die Werte im allgemeinen zeitlich korreliert sind.
Im Fachbereich 4.3 der PTB wurde deshalb untersucht, welche Gewichtungsfunktion unter gegebenen typischen Rauschbedingungen die jeweils geringste Unsicherheit des gewichteten Frequenzmittelwerts liefert [1]. Darüber hinaus wurde der quantitative Zusammenhang zwischen der Unsicherheit gewichteter Frequenzmittelwerte und der jeweils zugehörigen Variante der Allan-Varianz hergestellt, einem in der Frequenzmetrologie weit verbreiteten Werkzeug zur Charakterisierung von Frequenzinstabilitäten in Abhängigkeit von der Mittelungsdauer. Die verwendeten Methoden sind direkt auf andere Messgrößen anstelle von Frequenzen sowie auf andere Rauschtypen übertragbar.
Im Folgenden werden die drei wichtigsten Ergebnisse dargestellt.
(1) Bei weißem Frequenzrauschen, das in der Regel bei direkten Vergleichen optischer Atomuhren dominiert, liefert eine Rechteck- (Π‑) Gewichtungsfunktion, d.h. das (ungewichtete) arithmetische Mittel, die minimale Frequenzunsicherheit.
(2) Bei weißem Phasenrauschen hingegen, das z.B. in Satelliten- oder Faserlinks zum Vergleich entfernter Atomuhren dominieren kann, ist die selbst von Experten auch in diesem Fall oft angewandte Π-gewichtete Mittelung von Nachteil. Stattdessen liefert eine parabolische (Ω‑) Gewichtungsfunktion, die einer Bestimmung des Frequenzmittelwerts als Steigung der Regressionsgeraden an zeitabhängige Phasendaten entspricht, die geringste Unsicherheit. Eine Dreieck- (Λ‑) gewichtete Mittellung, die mit der modifizierten Allan-Varianz verknüpft ist, liefert bei diesem Rauschtyp ebenfalls deutlich kleinere Unsicherheiten als eine Π-gewichtete Mittelung.
(3) Bei Uhrenvergleichen über Satelliten- oder Faserlinks kann der dominante Rauschtyp zu längeren Mittelungsdauern hin von weißem Phasen- zu weißem Frequenzrauschen übergehen. Hier wird optimalerweise zunächst bis zu einer Übergangsmittelungsdauer mit einer parabolischen oder dreieckigen Gewichtungsfunktion gemittelt; Die so vorgemittelten Werte werden dann Π-gewichtet für längere Mittelungsdauern weitergemittelt.
Allein schon durch diese optimierten Vorgehensweisen bei der Datenanalyse lassen sich in vielen Fällen, in denen bisher oft ungünstigerweise die Π-gewichtete Mittelung verwendet wurde, die Unsicherheiten deutlich, d.h. bis hin zu mehreren Größenordnungen, reduzieren
(E. Benkler, FB 4.3, erik.benkler@ptb.de)
Literatur:
[1] E. Benkler, C. Lisdat, and U. Sterr, “On the relation between uncertainties of weighted frequency averages and the various types of Allan deviations”, Metrologia 52, 565-574 (2015)