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Arbeitsgruppe 2.62 Quanten-Hall-Effekt, Widerstand

Die Kapazitätseinheit Farad

Die Einheit der elektrischen Kapazität ist das Farad (abgekürzt F), benannt nach dem englischen Physiker und Chemiker Michael Faraday. Die Kapazität C eines Kondensators ist durch das Verhältnis von gespeicherter Ladung Q zu angelegter Gleichspannung U definiert:

C = Q/U

Im Fall von Wechselstrom ist die Kapazität eines Kondensators definiert durch den Wechselstrom I, der bei Anlegen einer Wechselspannung U an einen Kondensator mit der Impedanz Z fließt:

Z = U/I    mit    Z = 1/(jωC)      ⇒      C = I/(jωU)             

wobei j die imaginäre Einheit (j2 = -1) und ω die Kreisfrequenz ist. 


Sowohl für Gleichstrom als auch für Wechselstrom gilt:

1 F = 1 As/V = 1 s/Ω

Die Realisierung und Weitergabe des Farad erfolgt aus messtechnischen Gründen mit Wechselstrom. Deshalb wird im Folgenden nur noch die Wechselstrom-Kapazität betrachtet. Als Kapazitätsnormale werden häufig kommerzielle Parallelplattenkondensatoren aus Invar und thermostatisierte Quarzkondensatoren verwendet, unter anderem weil sie einen sehr kleinen Dissipationsfaktor besitzen.

 

1 nF Kondensator vom Typ „General Radio 1404 A“ 

1 nF Kondensator vom Typ „General Radio 1404 A“, für Anschauungszwecke mit aufgesägtem Gehäuse, um den Stapel von parallelen Kondensatorplatten sichtbar zu machen.

 

Die Realisierung der Kapazitätseinheit an der PTB mit Hilfe von koaxialen Wechselstrom-Messbrücken


An der PTB wird die Kapazitätseinheit realisiert, indem ein zu kalibrierendes 10 nF-Kapazitätsnormal mit Hilfe einer sogenannten Quadraturbrücke in Beziehung zum bekannten Quanten-Hall-Widerstand gesetzt wird. Die folgende Abbildung zeigt das Schema einer solchen Quadraturbrücke:

 

Schema einer Quadraturbrücke

Schema einer Quadraturbrücke  

 

Beide Normale werden von demselben Wechselstrom I durchflossen. Aus dem Ohmschen Gesetz I = U/RH für den linken Arm der Brücke und I = ωCU für den rechten Arm der Brücke (was übrigens der Definition von Widerstand, bzw. Kapazität entspricht) ergibt sich die Kapazität des zu kalibrierenden Normals aus dem bekannten Quanten-Hall-Widerstand RH zu:

C = (1 + Δ)/(ωRH)     

wobei die  Kreisfrequenz ω = 2πf und die Frequenz f = 1233,147 Hz ist, zurückgeführt auf die Normalfrequenz der PTB (Fachbereich 4.4). Δ ist die (normalerweise sehr kleine) relative Abweichung des 10 nF-Kapazitätsnormals von seinem Nennwert und wird mit einem Brückenabgleichsystem, das im obigen Schema der Einfachheit halber nicht gezeigt ist, bestimmt.

Dabei ist sicherzustellen, dass der Wechselstrom-Wert des Quanten-Hall-Widerstandes mit dem quantisierten Gleichstromwert übereinstimmt und insbesondere nicht aufgrund von parasitärer Wechselstrom-Dissipation abweicht. Deshalb wurde an der PTB eine spezielle Schirmungstechnik für die Quanten-Hall-Proben entwickelt, die solche unerwünschten Effekte vermeidet.

Gemäß der Empfehlung des CIPM wird der Quanten-Hall-Widerstand auf RK-90 bezogen, weil dies eine möglichst gute Übereinstimmung mit dem SI-Farad sicherstellt. Der relative Unterschied von RK-90 und dem aktuellen SI-Wert von RK beträgt weniger als 2.10-8, ist praktisch kaum relevant und wird mit dem neuen SI entfallen.

Die Genauigkeit der oben gezeigten Quadraturbrücke ist durch eine technisch bedingte Ungenauigkeit bei der Erzeugung der Quadraturspannung jU begrenzt. Die Erweiterung zu einer spiegelsymmetrischen Doppelbrücke erlaubt es, diesen Effekt zu eliminieren und die gewünschte Genauigkeit zu erreichen. Allerdings erhöht sich auch der messtechnische Aufwand. Insbesondere werden zwei Wechselstrom-Quanten-Hall-Widerstände benötigt. Diese werden in einem Kryostaten mit einer supraleitenden Spule betrieben und sind mit Koaxialkabeln versehen und geschirmt.
 

 

Schema einer Doppel-Quadraturbrücke  

Schema einer Doppel-Quadraturbrücke 

 

 

Hauptteil der Quadraturbrücke

Foto des Hauptteils der Quadraturbrücke. Die Breite des Bildes entspricht etwa 2,5 m.

 

Auf diese Weise werden die 10 nF-Kapazitätsnormale kalibriert. Kapazitätsnormale mit Nennwerten von 10 pF und 100 pF (1 pF = 10-12 F) besitzen die beste zeitliche Stabilität und Transportierbarkeit. Deshalb sind sie am besten für die mittelfristige Bewahrung geeignet, sowohl an der PTB als auch bei ihren Kunden. Sie sind also gewissermaßen die "Arbeitspferde" der Kapazitätsmetrologie. Um nun ein solches 10 pF- oder 100 pF-Kapazitätsnormal zu kalibrieren, wird - ausgehend von den bereits kalibrierten 10 nF-Normalen - mit einer koaxialen Verhältnis-Messbrücke eine entsprechende Sequenz von 10:1-Schritten durchgeführt.

 

Messkette vom Quanten-Hall-Widerstand

Messkette vom Quanten-Hall-Widerstand zu einem 10 pF-Normal und zu einem Widerstandsnormal   

 

Der Quanten-Hall-Widerstand dient also als Fixpunkt nicht nur für die Widerstandsskala, sondern auch für die Kapazitätsskala. Das ist auch ein Vorteil für die Konsistenz des Einheitensystems. Die erreichbare Unsicherheit beträgt etwa 1.10-8 für ein 10 pF-Normal (k = 2), was deutlich kleiner als die Unsicherheit der weltbesten berechenbaren Kapazitätsartefakte ist. Diese geringe Unsicherheit ist nicht nur durch die besonderen Eigenschaften des Quanten-Hall-Widerstandes bedingt, sondern auch durch die spezielle koaxiale Messtechnik, die sehr präzise und rauscharme Messungen ermöglicht.

 

Koaxialer Doppelprobenhalter für zwei GaAs-Quanten-Hall-Widerstände mit überlagerter Messkurve

Unteres Ende eines koaxialen Doppelprobenhalters für zwei GaAs-Quanten-Hall-Widerstände zum Einsatz bei tiefen Temperaturen und starken Magnetfeldern. Die überlagerte Messkurve zeigt die Plateaus des Quanten-Hall-Widerstandes.

 

Für die Bewahrung an der PTB werden auf diese Weise 10 pF- und 100 pF-Arbeitsnormale mit bekannten Drifteigenschaften auf den Quanten-Hall-Widerstand zurückgeführt, nach Bedarf etwa zweimal pro Jahr. Diese Kapazitätsnormale werden dann in der Arbeitsgruppe 2.13 für die Kalibrierung von Kundennormalen verwendet. Dort erfolgt auch der Aufbau der Kapazitätsskala mit größeren Nennwerten bis zu 10 mF.

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