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Arbeitsgruppe 2.62 Quanten-Hall-Effekt, Widerstand

Der Quanten-Hall-Widerstand

Die Aufgaben der Arbeitsgruppe 2.62 beruhen in besonderem Maße auf dem sogenannten Quanten-Hall-Widerstand, der sich durch quantisierte Werte des Hall-Widerstands RH auszeichnet:

RH = RK/   mit  RK = h/e2  und   i = 1, 2, 3, 4, …

d.h. der Quanten-Hall-Widerstand ist ein ganzzahliger Bruchteil i der von-Klitzing-Konstante RK. Die von-Klitzing-Konstante hängt nur von der Planck-Konstante h und der Ladung des Elektrons e ab. Klaus von Klitzing hat diesen Effekt 1980 entdeckt und wurde dafür 1985 mit dem Nobelpreis für Physik geehrt.


Während die Widerstandswerte von herkömmlichen Widerstandsartefakten von den Abmessungen, vom Material und von Temperatur und Luftdruck abhängen, mit der Zeit altern und durch mechanische Erschütterungen verändert werden, hängt der Quanten-Hall-Widerstand nur von Fundamentalkonstanten ab und ist mit einer außerordentlichen Präzision von mindestens 10-10 unveränderlich und reproduzierbar. Wegen dieser einzigartigen Eigenschaften dient der Quanten-Hall-Widerstand weltweit als Primärnormal für die Widerstandsmetrologie. Aus praktischen Gründen wird üblicherweise der Quanten-Hall-Widerstand mit i = 2 verwendet.

 
Im neuen Internationalen Einheitensystem (SI), das auf der CGPM (Conférence Général des Poids et Mesures) festgelegt wurde und seit dem 20. Mai 2019 gültig ist, haben sieben Fundamentalkonstanten exakte Werte gemäß den besten bis dahin verfügbaren Messungen, unter anderem die Planck-Konstante h und die Elementarladung e (siehe BIPM-Artikel). Folglich werden alle Kalibrierungen von Widerstand, Kapazität und Induktivität auf den als exakte Größe festgelegten Zahlenwert RK = h/e2 = 25812,807459… Ω bezogen. Der relative Unterschied zu dem zuvor gültigen Wert RK-90 beträgt nur 17,8·10-9 und ist kleiner als die Unsicherheit der damaligen SI-Widerstandseinheit. Das neue SI ist somit ein bedeutender Fortschritt für die elektrischen Einheiten Ohm und Farad (und natürlich auch für viele andere elektrische und nicht-elektrische Einheiten) und erlaubt weltweit einheitliche Kalibrierungen auf höchstem Niveau.


Zur Physik des Quanten-Hall-Widerstandes

Beim normalen Hall-Effekt (benannt nach seinem Entdecker Edwin Hall) befindet sich ein dünner Metallfilm in einem senkrecht zum Metallfilm orientierten Magnetfeld. Wenn ein elektrischer Strom durch diesen Metallfilm fließt, werden die Elektronen aufgrund der Lorentzkraft abgelenkt und es bildet sich eine elektrische Spannung senkrecht zum Strom, die sogenannte Hallspannung. Aus der Hallspannung UH und der in Stromrichtung gemessenen Längsspannung Uxx ergibt sich der Hallwiderstand RH und der Längswiderstand Rxx  gemäß:

RH = UH/I   und  Rxx = Uxx /I  

wobei I der Hallstrom ist.

 

Schema einer GaAs-Heterostruktur mit gebondeten lithografischen Kontakten auf einem Probenhalter 

Schema einer GaAs-Heterostruktur mit gebondeten lithografischen Kontakten auf einem Probenhalter. Die aus dem Hallstrom I resultierende Hall- und Längsspannung ist gekennzeichnet. 

 

Während die Hallspannung beim normalen Hall-Effekt linear mit dem Magnetfeld zunimmt, können unter bestimmten Bedingungen Stufen in der Hallspannung auftreten, sogenannte Hall-Plateaus.

 

 Hall- und Längsspannung einer GaAs-Heterostruktur als Funktion des Magnetfeldes

Hall- und Längsspannung einer GaAs-Heterostruktur als Funktion des Magnetfeldes B bei einer Temperatur von T = 0,3 K.

 

Eine wesentliche Voraussetzung für dieses Phänomen ist, dass  sich die Elektronen nur in einer Ebene bewegen können. Ein solches zweidimensionales Elektronensystem kann sich z.B. an der Grenzfläche einer Halbleiter-Isolator-Schicht in einer GaAs-Heterostruktur bilden. In einem starken Magnetfeld bewegen sich die Elektronen auf Kreisbahnen, den sogenannten Zyklotronbahnen, und zwar alle mit der gleichen diskreten Energie Ei. Jedem Energieniveau entspricht ein Plateau i im Hall-Widerstand. Damit dieser makroskopische Elektronenzustand nicht durch thermisch angeregte Streuprozesse zunichte gemacht wird, ist eine ausreichend tiefe Temperatur erforderlich. Unter diesen Bedingungen gilt die bereits oben angegebene Gleichung für die quantisierten Hall-Widerstandswerte:

RH = RK/   mit  RK = h/e2  und   i = 1, 2, 3, 4, …

Weil der Quanten-Hall-Effekt nur bei tiefen Temperaturen und starken Magnetfeldern auftritt, sind eine entsprechende Kryotechnik und ein supraleitender Magnet erforderlich. Als Material haben sich GaAs/AlGaAs-Heterostrukturen etabliert, die bei einer Temperatur unterhalb von 1,5 K und in einem Magnetfeld von typischerweise 10 T einen sehr präzisen und robusten Quanten-Hall-Effekt zeigen. Mit dem im Jahr 2004 entdeckten neuartigen Material Graphen könnte in Zukunft ein präziser Quanten-Hall-Widerstand auch bei moderateren Temperaturen (≥ 4 K) und moderateren Magnetfeldern (≤4 T) möglich werden, was einen deutlich einfacheren Messaufbau erlauben würde. 

 

GaAs-Heterostruktur auf einem Halter

GaAs-Heterostruktur auf einem Halter für Wechselstrom-Messungen.

 

 

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