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Verwendbarkeit von Niederdruck-Kalibrierungen kritischer Düsen im Hochdruck-Gas

15.11.2018

2016 wurde von der PTB für kritisch betriebene Venturidüsen eine Beschreibung des Düsenbeiwertes \(c_\text{D}(Re)\) in Abhängigkeit von der Reynoldszahl vorgestellt, die sowohl den Bereich laminarer als auch turbulenter Grenzschichten gleichzeitig abdeckt [1]. Mit den Kalibrierdaten von insgesamt 30 Düsen kann nunmehr gezeigt werden, dass damit auch eine zuverlässige Extrapolation einer Kalibrierung bei kleinen Reynoldszahlen (Niederdruck) in den Bereich hoher Reynoldszahlen (Hochdruck) möglich ist.

Die Gleichungen für \(c_\text{D}(Re)\) – im laminaren Bereich \(c_\text{D} = a - b_\text{lam} ⋅ {Re}^{-0,5}\) und für den turbulenten Bereich \(c_\text{D} = a - b_\text{turb} ⋅ {Re}^{-0,139}\) – sind über die Relation \(b_\text{turb} = 0,003654 ⋅ b^{1,736}_\text{lam}\) miteinander verknüpft. Gleichzeitig hängen die beiden Parameter \(a\) und \(b_ \text{lam}\) von dem lokalen Krümmungsradius \(R_\text{Hals}\) an der Stelle des engsten Düsenquerschnittes - auch Hals genannt - ab [2], [3].

Damit kann die Anpassung der \(c_\text{D}(Re)\)-Kurve an Messwerte mit Hilfe eines einzigen Parameters \(R_\text{Hals}\) erfolgen. Als Beispiel sind in Bild 1 die Messwerte aus einem Ringvergleich [4] zwischen PTB, NIST und LNE gezeigt. Die Anpassung der \(c_\text{D}(Re)\)-Kurve erfolgte über eine Least Square Anpassung ausschließlich an die Messpunkte der PTB bei den niedrigen Reynoldszahlen, bei denen laminare Grenzschichten das Düsenverhalten bestimmen. Bei der Berechnung von \(c_\text{D}(Re)\) ist zu beachten, dass in die Bestimmung von a und blam nach [2] und [3] auch noch der Isentropen-Exponent und die Prandtl-Zahl mit eingehen, was zu einer geringfügigen Differenz der Kurven für Luft/Stickstoff und Erdgas bei gleichem \(R_\text{Hals}\) führt.

Bild 1:    Messwerte für  \(c_\text{D,mess}\) aus einem Ringvergleich PTB, NIST und LNE [4] und  \(c_\text{D}(Re)\) auf Basis einer Least Square Anpassung an die Messwerte der PTB bei kleinen Reynoldszahlen. Für die Bewertung der Extrapolation werden die Differenzen \(\Delta c_\text{D}=c_\text{D,mess}-c_\text{D}({Re})\) für \(Re > 1 \cdot 10^6\) herangezogen.

Für die Demonstration der Zuverlässigkeit der Extrapolation wird hier der Bereich für \(Re > 1 \cdot 10^6\) herangezogen, ab dem turbulente Grenzschichten vorherrschen. Dazu werden die Residuen  \(\Delta c_\text{D}=c_\text{D,mess}-c_\text{D}({Re})\) gebildet. Dies entspricht der Abweichung zwischen gemessenen und berechneten Werten. Bild 2 zeigt alle Residuen für 30 Düsen mit Halsdurchmessern \(d_\text{Hals}\) von 2,2 mm bis 46 mm, für die PTB-Kalibrierdaten sowohl im Bereich kleiner als auch ausreichend hoher Reynoldszahlen vorliegen. Der Mittelwert \(\Delta c_\text{D,mittel}\) aller dieser Residuen liegt nahezu bei Null und die doppelte Standardabweichung bei ca. 0,0015, was in etwa einem relativen Wert von 0,15 % entspricht. Berücksichtigt man die relative Messunsicherheiten der jeweilige Messwerte \(c_\text{D,mess}\), die ebenfalls im Bereich 0,08 bzw. 0,25 % liegen (je nach verwendeter Referenz bei der Kalibrierung), so ergibt sich bereits eine gute Übereinstimmung zwischen Messung und Berechnung ohne die Berücksichtigung einer zusätzlichen Unsicherheit für die Extrapolation. Die für die Anpassungen ermittelten Krümmungsradien \(R_\text{Hals}\) reichen dabei von 0,68 ⋅ \(R_\text{Hals}\) bis 21,1 ⋅ \(R_\text{Hals}\), was eine große Spannbreite an  \(c_\text{D}(Re)\)-Verläufen abdeckt.

Bild 2:    Darstellung der Residuen \(\Delta c_\text{D}=c_\text{D,mess}-c_\text{D}(\text{Re})\) für alle 30 Düsen der Datenbasis sowie der Mittelwert der Residuen \(\Delta c_\text{D,mittel}\) und dessen doppelte Standardabweichung.

Eine Abschätzung der Unsicherheit aus der Extrapolation erfordert noch eine genauere Analyse der Datensätze. Darüber hinaus gilt es, die Mindestanforderungen an die Düsen zu bestimmen, bei denen eine solche Extrapolation verlässlich möglich ist. Derzeit ist davon auszugehen, dass dieser Ansatz nur für hydraulisch glatte Düsen gültig ist und Abweichungen von der idealen Düsenform nach ISO 9300 ein bestimmtes Maß nicht überschreiten dürfen.

Literatur:

[1] B. Mickan, J.-P. Vallet, C. Li and J. Wright; Extended data analysis of bilateral comparisons with air and natural gas up to 5 MPa; FLOMEKO 2016, Sydney, Australia, September 26-29, 2016, Opens external link in new windowLink
[2] I. M. Hall, Transonic Flow in Two-Dimensional and Axially-Symmetric Nozzles, Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, Vol. XV, Pt. 4, pp. 487-508, 1962, Opens external link in new windowLink
[3] Geropp, D., Laminare Grenzschichten in Überschalldüsen, Deutsche Luft- und Raumfahrt, Forschungsbericht 01 TM 8603-AK/PA 1, 1987.
[4] B. Mickan, R. Kramer, D. Dopheide, H.-J. Hotze, H.-M. Hinze, A. Johnson, J. Wright, J.-P. Vallet; Comparisons by PTB, NIST, and LNE-LADG in air and natural gas with critical venturi nozzles agree within 0.05 %; 6th ISFFM 2006, Queretaro, Mexico, May 16-18, 2006, Opens external link in new windowLink

Ansprechpartner:

Dr. Bodo Mickan, FB 1.4, AG 1.43, E-Mail: Opens window for sending emailbodo.mickan(at)ptb.de