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Berechnung des interferentiellen Längenfehlers durch Wellenfrontsimulation von Faserkollimatoren

04.01.2016

Für die akkurate Berechnung des durch Beugung verursachten Längenfehlers in der Laserinterferometrie ist eine genaue Charakterisierung der verwendeten Laserstrahlen erforderlich. Für die Messungen am Avogadroprojekt der PTB wird ein kalibrierter Wellenfrontsensor verwendet. Da dieser nur an Luft arbeitet, die Wellenfronten aber für Experimente im Vakuum bekannt sein müssen, wurde ein Ab-Initio-Modell der verwendeten Komponenten, einer Stufenindexglasfaser mit Faserkollimator, unter Verwendung eines strahlenbasierten Beugungsintegrals aufgestellt. Mit diesem Modell kann der Einfluss der Evakuierung berechnet werden. Durch eine Monte-Carlo-Simulation konnte die Größe des zu erwartenden relativen interferentiellen Längenfehlers und der daraus abgeleiteten Korrektion mit einer relativen Unsicherheit < 10% berechnet werden.

Berechnung des interferentiellen Längenfehlers durch Wellenfrontsimulation von Faserkollimatoren

Schon seit über 45 Jahren wird Laserinterferometrie in der Längenmessung eingesetzt [1]. Um größtmögliche Genauigkeit zu erzielen, muss der Einfluss von Beugung berücksichtigt werden [2]. Die Größe des dabei auftretenden relativen interferentiellen Längenfehlers Δz/z, wobei z die zu messende Länge darstellt, hängt in erster Linie von der Divergenz der verwendeten Laserstrahlen ab [2,3].

Die Größe dieses Fehlers liegt in einem Bereich, der bei heutigen anspruchsvollen Experimenten nicht mehr vernachlässigt werden kann [3]. Auch bei der Bestimmung des Gitterparameters von Si-28, die in der Arbeitsgruppe 4.33 vorbereitet wird, ist eine Beugungskorrektion erforderlich. Angestrebt wird eine relative Gesamtunsicherheit von ≤ 3×10-9. In dieser Größenordnung liegt jedoch auch der interferentielle Längenfehler bei den verwendeten Laserstrahlen. Im Experiment treten Mess- und Referenzstrahl jeweils aus den Enden einer einmodigen Glasfaser in je einen Kollimator. Lage und Richtung der Faserenden beeinflussen die Güte der Kollimation und entscheiden dabei wesentlich über die Größe des Längenfehlers.

Um eine möglichst genaue Korrektion zu ermöglichen, wurde im Rahmen des EMRP-Projekts „subnano“ [4] in der Arbeitsgruppe 4.21 ein Aufbau zur Kalibrierung von Wellenfront-Sensoren sowie ein damit kalibrierter Shack-Hartmann-Sensor realisiert. Damit ist es nun möglich, die Justage der Kollimatoren zu begleiten, um eine Minimierung der Wellenfrontkrümmung zu erreichen, sowie die resultierenden Strahlen bezüglich Bestrahlungsstärke und Wellenfront zu charakterisieren. Die Wellenfront-Messung ist dabei mit einer Unsicherheit ≤ 8 nm möglich. Allerdings kann der Wellenfrontsensor bisher nur an Luft eingesetzt werden. Das eigentliche Experiment muss aber im Vakuum durchgeführt werden.

Um den Einfluss der Evakuierung auf die Wellenfront abzuschätzen, wurde ein Ab-Initio-Modell mit Hilfe des strahlenbasierten Beugungsintegrals (Vectorial Ray-Based Diffraction Integral: VRBDI) [5,6] auf der Grundlage der Konstruktionsdaten der Kollimator-Optik aufgestellt, welche der Hersteller freundlicherweise zu diesem Zweck zur Verfügung gestellt hatte.

Das Eingangsfeld kann mit Hilfe einer exakten Lösung [7] aus den Faserhersteller-Angaben, der Numerischen Apertur NA und der Cut-Off-Wellenlänge λc , sowie dem Brechungsindex von Quarzglas bei der Laserwellenlänge, 532 nm, und der Näherung in [8] berechnet werden (Abb. 1, oben). Zum Test der Selbstkonsistenz, wurde das simulierte Ausgangsfeld hinter dem Kollimator phasenkonjugiert und rückwärts zur ursprünglichen Eingangsebene propagiert. Wie man in Abb. 1, oben gut erkennen kann, stimmen die jeweiligen Amplituden sehr gut überein.

Die Bestrahlungsstärke hinter dem Kollimator ist in Abb. 1, unten, dargestellt. Die blaue Kurve zeigt die Messdaten, die mit einem Laserprofilmessgerät im realen Aufbau gemessen wurden. Die Simulation der exakten Eingangsamplitude [7] ergibt die rote gestrichelte Kurve, welche über die Variation der NA bei einem Wert von 0,096 an die Messung angepasst wurde. Dieser Wert stimmt sehr gut mit der vom Faserhersteller angegebenen NA von 0,09 ± 10% überein.

Die grüne gepunktete Kurve zeigt zum Vergleich, welchen Verlauf ein Gaußstrahl erzeugt, wenn man den ebenfalls vom Hersteller angegebenen Modenfelddurchmesser MFD = 4,5 µm ± 10% hinzunimmt, um den Radius der Strahltaille am Faserausgang festzulegen. Auch unter Ausschöpfung der Unsicherheit von 10% ist es nicht möglich, den tatsächlichen Verlauf wiederzugeben. Das Ausgangsfeld der verwendeten Glasfaser kann also nicht zufriedenstellend mit einem Gaußstrahl beschrieben werden.

In Abb. 2 ist die Phase der Wellenfront hinter dem simulierten Kollimator für die verschiedenen Fälle gezeigt. Im oberen Teil ist der Kollimator an Luft optimiert. Die blaue Kurve weist eine sehr geringe Krümmung auf. Im Vakuum stellt sich unter diesen Justage-Bedingungen die Wellenfront-Phase gemäß der roten Kurve ein. Im unteren Teil ist der Kollimator optimal für das Vakuum justiert (rote Kurve). Hierzu ist eine Verkürzung des Abstandes zwischen Faserausgang und Kollimator von 23 µm erforderlich. An Luft muss die Wellenfront also entsprechend „vorgekrümmt“ sein (blaue Kurve).

Mit dem Modell ist es auch möglich, systematische Effekte der Fehljustierung zu untersuchen. Dies ist in Abb. 3, oben, exemplarisch an einer Drehung der Faser um 1° um die y-Achse (die z-Achse ist die optische Achse des Systems) dargestellt. Solche Bilder können bei der Justage helfen, um die Messungen des Wellenfront-Sensors leichter zu interpretieren. Es ist allerdings zu bemerken, dass Linsenfehler ebenfalls zu ähnlichen Deformationen führen und von Justage-Fehlern nicht gut zu trennen sind.

Für die Berechnung des interferentiellen Längenfehlers wurde eine Monte-Carlo-Simulation durchgeführt. Hierbei wird angenommen, dass die Wellenfront an Luft optimiert wird und eine daran anschließende Verkürzung um 23 µm vorgenommen wird. Für die Unsicherheit der z-Position werden 7.5 µm angenommen. Ausgewürfelt werden Positionierungs- und Orientierungsfehler im realistischen Bereich sowie Abweichungen im Rahmen erwartbarer Fertigungstoleranzen. Pro Durchlauf werden Mess- und Referenzstrahl über unabhängige Kollimator-Konfigurationen simuliert und über eine anschließende Interferenzsimulation wird der jeweilige relative Längenfehler pro Durchlauf ermittelt. Die sehr asymmetrische Verteilung der Wahrscheinlichkeitsdichte nach 500 Durchläufen ist in Abb. 3, unten, dargestellt. Als Mittelwert mit einfacher Unsicherheit erhält man Δz/z = -1,85(17)×10-9.

BILD 1


Oben: Normalisierte Amplitude des elektrischen Feldes einer einmodigen Glasfaser (Numerische Apertur: 0,096, Cut-Off-Wellenlänge: 420 nm) bei einer Lichtwellenlänge von 532 nm. Die blaue durchgezogene Linie zeigt die analytische Lösung für eine rotationssymmetrische Stufenindexfaser. Die rote gestrichelte Linie erhält man nach Vorwärtspropagation durch den simulierten Faser-Kollimator zur Ausgangsebene, Phasenkonjugation und Rückwärtspropagation (rückwärts durch den Kollimator) zur Eingangsebene.

Unten: Vergleich der gemessenen Bestrahlungsstärke (blaue, durchgezogene Linie) mit den Ab-Initio-Rechnungen der propagierten exakten Lösung (rote gestrichelte Linie) und eines Gaußstrahls (grüne gepunktete Linie) bei dem Radius und Position der Strahltaille auf den halben Modenfeld-Durchmesser (Angabe des Herstellers: MFD = 4,5 µm) bzw. den Faserausgangs gesetzt wurde.

 BILD 2

Phase der Wellenfront hinter einem simulierten Faser-Kollimator. Oben: Der Abstand zwischen Faserausgang und Kollimator ist für den Betrieb an Luft optimiert. Die blaue Kurve zeigt einen flachen Verlauf. Für Vakuum erhält man die rote Kurve.

Unten: Der Abstand ist für das Vakuum (rote Kurve) optimiert. Im simulierten Fall ist hierzu ist eine Verkürzung um 23 µm erforderlich. Für Luft ergibt sich die blaue Kurve.

 BILD 3

Oben: Phase der Wellenfront hinter einem simulierten Faser-Kollimator, wenn der Faserausgang 1° um die y-Achse gedreht wird.

Unten: Verteilung der Wahrscheinlichkeitsdichte des relativen interferentiellen Längenfehlers nach einer Monte-Carlo-Simulation mit 500 Durchläufen. Pro Durchlauf wurden zwei unabhängige mögliche Konfigurationen ausgewürfelt (Positionierung und Orientierung der Faser, Fertigungstoleranzen des Kollimators) und die jeweiligen Ausgangsstrahlen simuliert. Aus der daran anschließenden Interferenzsimulation beider Strahlen, erhält man den relativen Längenfehler für den jeweiligen Durchlauf. Über die statistische Auswertung aller Durchläufe kann der angegebene Wert mit einfacher Unsicherheit ermittelt werden. Die rote Kurve zeigt, wie die normalverteilte Wahrscheinlichkeitsdichte aussehen würde.


Literatur:

[1]    J. N. Dukes and G. B. Gordon, A two-hundred-foot yardstick with graduations   every microinch, Hewlett-Packard J. 21, 2-8 (1970).

[2]    K. Dorenwendt and G. Bönsch, Über den Einfluß der Beugung auf die interferentielle Längenmessung, Metrologia 12, 57-60 (1976).

[3]    E. Massa, C. P. Sasso, G. Mana, and C. Palmisano, A More Accurate Measurement of the 28Si Lattice Parameter, J. Phys. Ref. Data 44, 031208 (2015).

[4]    www.ptb.de/emrp/subnano.html.

[5]    B. Andreas, G. Mana, and C. Palmisano, Vectorial ray-based diffraction integral, J. Opt. Soc. Am. A 32, 1403-1424 (2015).

[6]    B. Andreas, A vectorial ray-based diffraction integral for optical systems, Proc. SPIE 9630, 9630C (2015).

[7]    L. B. Jeunhomme, Single-Mode Fiber Optics (Marcel Dekker, 1990).

[8]    H. D. Rudolph, and E. G. Neumann, Approximations for the Eigenvalues of the Fundamental Mode of a Step Index Glass Fiber Waveguide, Nachrichtentechn. Z. 29, 328-329 (1976).