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Vektorielle Beugung in nicht-paraxialen optischen Systemen

08.01.2015

Laser-Interferometer, welche häufig auch Optiken zur Strahlformung und Wellenfront-Anpassung enthalten, sind in der dimensionellen Metrologie sehr weit verbreitet. Häufig werden aber in Messunsicherheitsabschätzungen nur geometrische Überlegungen einbezogen, weil Beugungseffekte ungleich schwieriger zu berechnen sind.

Demgegenüber kommt es auch häufig vor, dass Beugungseffekte zwar berücksichtigt werden, aber nur in paraxialer Näherung, so dass dann die exakte Geometrie der optischen Grenzflächen vernachlässigt wird.

Es ist daher wünschenswert, Geometrie- und Beugungseffekte in einer kombinierten Methode zu simulieren. Um auch den Energieverlust an Grenzflächen vollständig und so genau wie möglich zu erfassen, ist eine vektorielle Beschreibung des extrem monochromatischen elektromagnetischen Wellenfeldes eines typischen Mess-Lasers unerlässlich.

Den theoretischen Rahmen bilden ein vektorielles Beugungsintegral sowie die Berechnung des reflektierten oder transmittierten Feldes an einer Grenzfläche mittels Fresnelscher Formeln. Hiermit lässt sich eine schrittweise Propagation durch ein optisches System von Grenzfläche zu Grenzfläche realisieren. Die numerische Implementierung reduziert sich auf diskrete Summen. Die wesentlichen Einflüsse auf die Genauigkeit der Methode, die mit numerischen Tests zur Energieerhaltung untersucht wurde, sind der Brechungsindexkontrast an einer Grenzfläche und die gewählte Auflösung. Genauigkeit und Rechenaufwand sind dabei sehr hoch, was die Methode für Anwendungen impraktikabel macht. Allerdings kann die Methode für einfache Systeme, z. B. eine einzelne Grenzfläche, als Referenz dienen, um andere Methoden zu testen.

Eine weitere Methode verwendet Strahlzielen auf gewünschte Positionen im Ausgangsfeld, an denen die Beiträge des Eingangsfeldes summiert werden, differentielle Strahlverfolgung, Fresnelsche Formeln und Matrix-Optik, um Anteile des Eingangsfeldes durch das System zu propagieren. Diese Anteile können dabei sowohl Kugel- als auch ebene Wellen sein welche durch Strahlen repräsentiert werden. Da die Strahlverfolgung streng deterministisch ist, werden Beugungseffekte durch Strahlbegrenzung vernachlässigt. Diese Näherung ist unproblematisch, wenn die Aperturen im System deutlich größer als die Wellenlänge sind. Bei zu kleinen Aperturen muss das Feld an der Apertur ausgerechnet und dann von dort weiterpropagiert werden.

In einem einfachen optischen System (Abb. 1) bestehend aus einer Grenzfläche wurden beide Simulationsverfahren miteinander verglichen. Abbildung 2 zeigt die propagierten Feldkomponenten. Die simulierte Bestrahlungsstärke am Detektor sowie die relative Differenz der aus beiden Verfahren resultierenden Bestrahlungsstärken ist in Abb. 3 dargestellt. Der gezeigte Verlauf zeigt, dass die schrittweise Propagation ein minimal breiteres Profil erzeugt als die Strahlverfolungsmethode. Da die Energieerhaltung bei der schrittweisen Propagation zwei Größenordnungen genauer eingehalten wird als bei der Strahlverfolgung (36 ppb gegenüber 5 ppm), lässt sich das etwas zu schmale Profil bei der Strahlverfolgung durch die Vernachlässigung der Unschärferelation an der Apertur erklären.

Skizze eines einfachen optischen Systems bestehend aus einer Grenzfläche, die zwei homogene, isotrope und transparente Dielektrika trennt. In der Eingangsebene liegt die Strahltaille eines in x-Richtung linear polarisierten Gaußstrahls.

Zum Detektor propagierte Feldkomponenten des Gaußstrahls aus Abb. 1.

Links: Simulierte Bestrahlungsstärke am in Abb. 1 dargestellten Detektor. Rechts: Relative Differenz zwischen den simulierten Bestrahlungsstärken einer Strahlverfolgungsmethode (I3) und einer schrittweisen Propagation über die Grenzfläche (I2).


Literatur: 

[1] J. D. Jackson, Classical electrodynamics, (Wiley, 1999).

[2] G. S. Smith, An introduction to classical electromagnetic radiation (Cambridge University Press, 1997).

[3] S. A. Collins, Lens-System Diffraction Integral Written in Terms of Matrix Optics, J. Opt. Soc. Am. 60, 1168-1177 (1970).

[4] M. Harrigan, General beam propagation through non-orthogonal optical systems, Proc. SPIE 4832, 379-389 (2002).

[5] H. Ling et al., Shooting and Bouncing Rays: Calculating the RCS of an Arbitrarily Shaped Cavity, IEEE Trans. Antennas Propagat. AP-37, 194-205 (1989).