Raytracing mit Beugung

In der dimensionellen Metrologie ist der Einsatz von Laser-Interferometern, die häufig auch Optiken zur Strahlformung und Wellenfront-Anpassung enthalten, sehr weit verbreitet. Für die Abschätzung der Messunsicherheit dieser Interferometer werden häufig nur geometrische Betrachtungen herangezogen, da die Berechnung von Beugungseffekten erheblich schwieriger ist. Sollen nun aber die Messunsicherheiten im Subnanometer-Bereich liegen, ist die Berücksichtigung von Beugungseffekten i.d.R. unerlässlich.
Die Beschreibung von Beugung in Linsensystemen wird üblicherweise im Rahmen der paraxialen Näherung über die numerische Lösung des Beugungsintegrals nach Collins durchgeführt, das auf die ABCD-Matrix des zu beschreibenden Linsensystems angewendet wird [1]. Die ABCD-Matrix wiederum beinhaltet eine quadratische Näherung der im System befindlichen Grenzflächen. Aufgrund der hohen Ansprüche an die Genauigkeit ist es erforderlich, die Validität dieser Approximationen zu überprüfen. Eine rigorose Beschreibung von Beugung ist über das Rayleigh-Sommerfeld-Beugungs-integral gegeben [2]. Allerdings kann es in der ursprünglichen Form nur für die freie Propagation angewendet werden.
Ziel der Arbeiten in unserer Arbeitsgruppe ist es, ohne paraxiale Näherung eine Brücke zu schlagen zwischen der rigorosen Beschreibung von Beugung und der Berücksichtigung der korrekten Geometrie der optischen Systeme. Ein Ansatz ist die Zusammenführung des Rayleigh-Sommerfeld-Integrals mit der geometrischen Strahlverfolgung (Raytracing). Hierzu werden Strahlen von äquidistanten Punkten auf der Objektebene, auf der die komplexe Amplitude des eingehenden Feldes bekannt ist, durch das optische System bis zur Bildebene verfolgt. Jeder Strahl trägt bestimmte Informationen, die - wie z.B. der optische Weg - auf einem Netz mit beliebiger Auflösung bzw. Anzahl der Gitternetzpunkte N_x und N_y interpoliert werden und in die numerische Lösung des Rayleigh-Sommerfeld-Integrals eingehen.
In Abb. 1 ist eine Modellskizze zur Simulation von Beugung an einer Kreisblende in der Brennebene einer dicken bikonvexen Linse gezeichnet. Abbildung 2 zeigt die Intensität im Bildbereich in halblogarithmischer Auftragung. Im Bereich der Lochblende wurden 7700 Punktlichtquellen mit jeweils 5000 Strahlen zur Berechnung, die auf einem Rechner mit 12 Prozessorkernen und einer Taktfrequenz von 3,33 GHz 2 min benötigt, herangezogen. Um die neue Methode mit der etablierten Methode nach Collins zu vergleichen, wurde eine entsprechende Berechnung des Systems mit ABCD-Kalkül durchgeführt. In Abb. 3 ist die Intensität wieder halblogarithmisch über der lateralen Position im Schnitt durch die Bildmitte für die beiden Methoden aufgetragen. Die neue Methode (blaue Kurve) zeigt ein gestauchtes Profil gegenüber dem Profil der Collins-Methode (rote Kurve). Wenn der Winkelbereich bei der Strahlverfolgung eingeschränkt wird (grüne Kurve), d.h. wenn man eine künstliche paraxiale Näherung in die neue Methode einführt, ist die Übereinstimmung mit der Collins-Methode sehr gut. Die Stauchung kann auf den Einfluss der sphärischen Aberration, die bei freier Propagation nicht auftritt, zurückgeführt werden.



Abb1: Modellskizze zur Simulation von Beugung an einer Kreisblende in der Brennebene einer dicken bikonvexen Linse; a=0,1 mm, b=10 mm z₁=50 mm, z₂=1000 mm, Wellenlänge λ=633 nm.



Abb. 2: Halblogarithmische Auftragung der Intensität über äquidistanten Gitternetzpunkten N_x und N_y im quadratischen Bildbereich (Kantenlänge b=10 mm).



Abb. 3: Halblogarithmische Auftragung der Intensität über der lateralen Position im Schnitt durch die Bildmitte für die neue Methode bei Ausnutzung des vollen Winkelbereichs (blaue Kurve), für die herkömmliche Methode über das Collins-Integral (basierend auf ABCD-Matrizen) und für die neue Methode bei Verkleinerung des zur Interpolation verwendeten Winkelbereichs (paraxiale Näherung).

Literatur:

 [1]    S. A. Collins, Lens-System Diffraction Integral Written in Terms of Matrix Optics, J. Opt. Soc. Am. 60, 1168-1177 (1970).

 [2]    J. W. Goodman, Introduction to Fourier Optics, (McGraw-Hill, New York, 1968), pp. 42-45.