Logo der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt

Berechnung des diamagnetischen Tensors des Wassermoleküls

08.07.2014

Die Qualität einer strahlentherapeutischen Behandlung kann durch die Visualisierung des Tumorvolumens während der Bestrahlung erhöht werden (so genannte bildgeführte Strahlentherapie). Derzeit befinden sich an verschiedenen Stellen Anlagen zur bildgeführten Strahlentherapie in Entwicklung, bei denen die Kernspintomographie zur Bildgebung eingesetzt wird. Im Rahmen des EMRP-JRP MRI safety [1] wird u.a. der Einfluss des Magnetfeldes auf die Wechselwirkung zwischen Strahlung und Materie und die Dosimetrie untersucht.

Ziel der aktuellen Studie war es deshalb, die Polarisierung der Wassermoleküle durch das externe Magnetfeld zu ermitteln. Da das Wassermolekül nicht rotationssymmetrisch ist, hängt das vom Magnetfeld induzierte (dia-)magnetische Moment von der Orientierung der Wassermoleküle ab und damit auch der Boltzmann-Faktor für diese Orientierung. Im Energieterm tritt dabei der Trägheitstensor der Elektronenverteilung im Molekül auf.

Die Komponenten des Trägheitstensors wurden als die Momente der Ortskoordinaten durch folgendes Integral berechnet:

Hierbei ist t∈{x, y, z}, m∈{0, 1, 2} und die Funktion p(x,y,z) entspricht der dreidimensionalen Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung der Elektronen im Wassermolekül. Sie berücksichtigt die fünf molekularen Orbitale des Wassers, die jeweils als lineare Kombinationen von Atomorbitalen ausgedrückt werden. Das quantenchemische Programm Gaussian09 wurde verwendet, um die Koeffizienten der linearen Kombinationen mit dem Self-Consistent-Field-Verfahren zu bestimmen. Dabei wurde jedes Atomorbital selbst als lineare Kombination von Gaußschen Funktionen beschrieben, die auf dem jeweiligen Atom zentrierten sind. Es wurden dafür die sogenannten Split-Valence Triple-Zeta 6-311G Gaußsche Basisfunktionen verwendet. Anhand deren mathematischer Darstellung wurden analytische Ausdrücke für E(tm) hergeleitet und für die numerische Evaluierung in MatLab implementiert.

Die Ergebnisse wurden benutzt, um die Energieverschiebung der orientierten Wassermoleküle im Magnetfeld sowie die entsprechende Boltzmann-Verteilung zu bestimmen, mit der dann anschließend Erwartungswertung und Standardabweichung der differentiellen Elektronenstreuquerschnitte berechnet werden konnten.

Referenz:

  1. www.ptb.de/emrp/mri.html