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Bestimmung der wirksamen Querschnittsfläche von Kolben-Zylinder-Systemen unter Verwendung der Theorie der Dynamik verdünnter Gase

30.10.2013

Die wirksame Querschnittsfläche (A0) von in Primärkolbenmanometern verwendeten Kolben-Zylinder-Systemen (KZS) wird üblicherweise aus den dimensionellen Eigenschaften des Kolbens und Zylinders unter Verwendung der Dadsonschen Theorie bestimmt, in der die Gasströmung durch den Kolben-Zylinder-Spalt als viskos behandelt wird [1]. Tatsächlich kann die Gasströmung entlang des Spaltes teilweise im molekularen Strömungsregime realisiert werden. Besonders im Absolutdruckbetrieb bei einem relativ niedrigen Restgasdruck variiert die Gasströmung vom viskosen am Eingang, über den transienten in der Mitte, zum molekularen Regime am Ausgang des Kolben-Zylinder-Spaltes, so dass die Dadsonsche Gleichung nur begrenzt gültig ist. Um dies zu berücksichtigen, wurden die Werte der dimensionslosen Durchflussrate (GP), auch Poiseuille-Koeffizient genannt, wie sie in der Dynamik verdünnter Gase betrachtet wird, verwendet, um die Druckverteilung (pz) entlang des Kolben-Zylinder-Spaltes von KZS zu bestimmen und deren wirksame Querschnittsfläche zu berechnen.

Der Poiseuille-Koeffizient ist eine Funktion des Verdünnungsparameters (d), wobei der letztere umgekehrt proportional zu der Knudsen-Zahl und folgendermaßen definiert ist: d = hpzh-1(2kT/m)-0,5, wobei h die charakteristische Größe, für ein KZS die Spaltweite zwischen dem Kolben und Zylinder, pz der lokale Druck, h und m die Viskosität und die Molekularmasse des Gases, k die Boltzmann-Konstante und T die absolute Temperatur des Gases ist. In der Literatur wurde die kinetische Boltzmann-Gleichung mithilfe des Bhatnagar-Gross-Krook (BGK) Modells gelöst und GP im planparallelen unendlichen Spalt für den Bereich d ≥ 0,01 berechnet. In der aktuellen Arbeit wurde die Lösung für GP(d) unter Verwendung des BGK-Modells auf den Bereich 10-5 < d < 0,01 ausgeweitet. Diese Ergebnisse zusammen mit den Literaturdaten sind im Bild 1 durch die durchgezogene Linie dargestellt. Die Besonderheit dieser Lösung ist, dass im Grenzfall d ® 0 GP wegen der 2-dimensionalen Unendlichkeit des Spaltes unendlich wird. Eine solche Situation kann jedoch aufgrund des endlichen Radius von KZS nie auftreten. Um dem Rechnung zu tragen, wurde eine Lösung der kinetischen Gleichung für den Gasstrom durch einen Ringspalt im freimolekularen Strömungsregime (d << 0,01) angewendet, die zu von h/r abhängigen GP führt, wobei r der Kolbenradius ist. Die GP-Werte für verschiedene h/r sind im Bild 1 durch die horizontalen gestrichelten Linien gezeigt.

Bild 1:   

Poiseuille-Koeffizient (GP) in Abhängigkeit vom Verdünnungsparameter (d):
durchgezogene Linie - Lösung des BGK Modells für zwei Parallelplatten;
gestrichelte Linien - freimolekulare Lösung für Ringspalt.

 

Für KZS mit einem ausreichend kleinen Verhältnis der Spaltweite zum Kolbenradius, h/r £ 10-4, wird der Gasstrom durch den ringförmigen Spalt als Strömung zwischen zwei unendlichen Parallelplatten betrachtet und die entsprechenden Lösungen des BGK-Modells angewendet, die den viskosen, transienten und freimolekularen Strömungsregime abdecken (durchgezogene Linie). Jedoch bleibt dieses Modell nur akzeptabel, solange die molekulare mittlere freie Weglänge kleiner als der Radius des KZS ist. Wenn diese Bedingung verletzt ist, wird in dem freimolekularen Regime der Einfluss der Ringform des Kolben-Zylinder-Spaltes berücksichtigt, indem die Lösung für die molekulare Strömung durch den Ringspalt verwendet wird (gestrichelte Linien). Unter Verwendung der Kontinuitätsgleichung und der im Bild 1 präsentierten GP(d)-Daten wird die Druckverteilung im Kolben-Zylinder-Spalt und schließlich A0 berechnet.

Die wirksamen Querschnittsflächen eines 10 cm2 und eines 20 cm2 KZS mit den Seriennummern DH 288 und DHI 1162 wurden für deren reale Spaltprofile im Überdruck- und Absolutdruckmodus mit der Dadson- und der BGK-Theorie für verschiedene Gase berechnet und sind im Bild 2 gezeigt.

 

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a)b)
Bild 2:   

Wirksame Querschnittsflächen der KZS 288 (a) und 1162 (b) für Überdruck- (g) und Absolutdruckmodus (abs) und für unterschiedliche Gase

 

Die nach der Dadsonschen Theorie berechnete wirksame Querschnittsfläche im Absolutdruckmodus ist unabhängig vom Druck. Für das KZS 288 ist der Unterschied zwischen den Ergebnissen für verschiedene Gasspezies im Absolutdruck- viel größer als im Überdruckmodus. Die Differenz zwischen den Dadson- und BGK-Ergebnissen ist beim Druck von 0,1 MPa am größten und beträgt etwa 2·10-6 relativ. Für das System 1162 sind die Effekte des Betriebsmodus und der Gasspezies wesentlich kleiner als für das System 288. Die maximale relative Differenz der wirksamen Querschnittsfläche beträgt nur etwa 0,4·10-6 bei 0,07 MPa.

Eine experimentelle Überprüfung wurde durch Druckvergleichsmessungen zwischen zwei Kolbenmanometern durchgeführt. Sie wurden mit zwei nominell identischen KZS mit einer wirksamen Querschnittsfläche von 10 cm2 ausgestattet, die durch die Seriennummer DH 288 und DH 290 identifiziert sind. Eines der Systeme, nämlich 290, wurde mit Stickstoff (N2) gefüllt und als Referenz verwendet, während das andere, KZS 288, als Prüfling agierte, der mit unterschiedlichen Gasen betrieben wurde: N2, Helium (4He) und Schwefelhexafluorid (SF6). Um die Gasvermischung zu vermeiden, wurden die beiden KZS durch eine Differenzdruckzelle (Rosemount 3051S1CD), mit der das Druckgleichgewicht kontrolliert wurde, voneinander getrennt. Die Messungen wurden im Überdruck-Modus bei den Drücken (0,2, 0,4 und 1) MPa durchgeführt. Alle Ergebnisse, theoretische und experimentelle, sind im Bild 3 als relative Abweichungen von den Ergebnissen für N2 gezeigt.

Bild 3:   

Relative Abweichungen von A0 für verschiedene Gase von A0(N2) des Systems 288 im Überdruck-Modus

 

Die Tendenz der theoretischen Ergebnisse aus der Dadsonschen Theorie (viskose Strömung) ist ähnlich derjenigen aus der neuen Theorie für SF6, weil SF6 größere und schwerere Moleküle hat und viskoser ist als N2 und 4He. Bei einem niedrigen Druck, ist der Effekt des im Bild 1 sichtbaren Knudsen-Minimums groß, und er wird bei der Druckerhöhung kleiner. Das theoretische Ergebnis bei 1 MPa ist für Helium um etwa 0,2·10-6 kleiner als für N2, während es für SF6 um etwa 0,2·10-6 größer ist. Dies liegt daran, dass die SF–Moleküle größer und schwerer, und die Helium-Moleküle kleiner und leichter sind als die des Stickstoffs. Die experimentellen Ergebnisse zeigen den gleichen Trend wie die theoretischen Ergebnisse. Sie ermöglichen jedoch keine quantitative Überprüfung der Theorie, da die Standardabweichung des Experiments im Vergleich mit den beobachteten Effekten zu groß ist.

Mit der Verwendung des auf der Strömungstheorie verdünnter Gase basierten neuen Modells kann die wirksame Querschnittsfläche realer KZS nun für ein bestimmtes Gas und eine bestimmte Betriebsart berechnet werden. Für die beiden analysierten KZS mit den wirksamen Querschnittsflächen von 10 cm2 und 20 cm2 beträgt die maximale relative Differenz zwischen der Dadsonschen und der neuen Theorie entsprechend 2·10-6 und 0,4·10-6. Daher scheint die Dadsonsche Theorie in den meisten Fällen ausreichend zu sein. Wenn jedoch eine sehr kleine Unsicherheit, 1·10-6 und kleiner, erforderlich ist, wie es der Fall in den Experimenten zur Neubestimmung der Boltzmann-Konstante ist, insbesondere im Absolutdruckmodus, ist die Verwendung der neuen Theorie notwendig.

 

Literatur

[1]   

R.S. Dadson, S.L. Lewis, G.N. Peggs
The Pressure Balance – Theory and Practice, London, HMSO, 1982

[2]   W. Sabuga, F. Sharipov, T. Priruenrom
Determination of the effective area of piston-cylinder assemblies using a rarefied gas flow model
PTB-Mitteilungen, 121 (2011) 260-262

 

  Kontakt: Dr. Wladimir Sabuga, FB 3.3, Opens window for sending emailwladimir.sabuga(at)ptb.de