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Vergleich von Hilbert-Transformations- und Sinus-Fit-Ansätzen für die Bestimmung von Dämpfungsparametern

09.10.2015

Für die Analyse von rotatorischen Dämpfungsmessungen im Zeitbereich wurden zwei unterschiedliche Auswertungsansätze verglichen. Der erste untersuchte Ansatz beinhaltet die Berechnung der Hilbert-Transformierten der Messdaten, was eine Dämpfungsbestimmung mittels linearer Regression ermöglicht. Der zweite Ansatz umfasst eine direkte nichtlineare Approximation einer gedämpften Sinusfunktion an die Messdaten. Beide Ansätze wurden in Form von simulierten Daten und Messdaten verglichen. Die Ergebnisse werden hier vorgestellt.

Für die Bestimmung von Dämpfungsparametern können entweder erzwungene Schwingungen im Frequenzbereich oder freie, abklingende Schwingungen im Zeitbereich analysiert werden. Für die Analyse der rotatorischen Dämpfung für Komponenten einer dynamischen Drehmomentmesseinrichtung wurde aus technischen Gründen die Analyse der exponentiell abklingenden Schwingungen gewählt [1]. Die entstehenden Schwingungen sind gedämpfte sinusförmige Schwingungen mit der Amplitude $A$, der Kreisfrequenz $\omega$, der Phase  $\varphi$ und der Abklingkonstante $\delta$.

$$ x(t)=A \cdot e^{-\delta t} \cdot \sin (\omega t + \varphi)$$

Für die Messung der Dämpfungsparameter müssen sowohl $\omega$, als auch $\delta$ identifiziert werden.

Für die Bestimmung der Dämpfungsparameter aus den experimentell gewonnenen Messdaten wurden zwei unterschiedliche Ansätze verglichen.

1) Hilbert-Transformation

Das erfasste Messsignal $x(t)$  kann als Realteil eines komplexen analytischen Signals $\underline{x}(t)$ beschrieben werden

$$\underline{x}(t)=x(t)+\tilde{x}(t)\text{.}$$

Die Hilbert-Transformierte des Realteils (bzw. der Messdaten) ist der Imaginärteil $\tilde{x}(t)$ und entspricht einer Faltung im Zeitbereich [2]

$$\mathcal{H}(x(t))=\tilde{x}(t)=x(t)*\frac{1}{\pi t}\text{.}$$

Somit kann mit Hilfe der Hilbert-Transformation die Umhüllende des Signals  $A$ nach

  $$ A(t)=\sqrt{x^2(t)+\tilde{x}{^2}(t)}$$

und der momentane Phasenwinkel mit Hilfe der Arkustangens

$$ \varphi (t)=\tan^{-1} \left( \frac{\tilde{x}(t)}{x(t)}\right) $$

bestimmt werden. Aus der Umhüllenden in logarithmischem Maßstab lässt sich die Abklingkonstante durch lineare Regression bestimmen. Gleiches gilt für die Kreisfrequenz mit dem linearen Zusammenhang

$$ \varphi (t)=\omega\cdot t\text{.}$$

 

2) Sinus-Fit
Das erfasste Signal in Form der gedämpften Sinusschwingung kann auch durch eine ebensolche Funktion mit einem zusätzlichen Bias-Parameter $B$ direkt approximiert werden

$$x(t)=A \cdot e^{-\delta t}\cdot \sin (\omega t + \varphi)+B\text{.}$$

 

Im Unterschied zum Verfahren basierend auf der Hilbert-Transformation ist diese Funktion nichtlinear in den Parametern. Daher kommen hier iterative Regressionsalgorithmen zum Einsatz.

Beide Verfahren wurden in einem ersten Schritt mit simulierten Daten verglichen. Hierfür wurden gedämpfte Sinusschwingungen mit ähnlichen Eigenschaften, wie sie in den tatsächlichen Messungen auftraten, erzeugt und danach mit stochastischen Störungen überlagert. Beide Verfahren wurden auf diese Daten angewendet und die Abweichungen zu den bekannten Parametern bei der Erzeugung der Daten bestimmt.

Beide Verfahren erwiesen sich als geeignet zur Bestimmung der Parameter, daher wurden beide im nächsten Schritt auf Messdaten angewandt und die Ergebnisse verglichen. Zu diesem Zweck wurde die quadratische Fehlersumme (SSE, engl. Squared Sum of Errors) basierend auf den Residuen berechnet und verglichen. Ein typisches Ergebnis für eine Bestimmung basierend auf der Hilbert-Transformation ist in Bild 1 dargestellt.

Bild 1: Gemessene Daten (blau) und approximierter Betrag der Umhüllenden und des Phasenwinkels (magenta). Rot dargestellt ist der Bereich, der für die Bestimmung herangezogen wurde.

Hier zeigten sich Vorteile für die direkte Approximation des gedämpften Sinus: Die Fehlersummen waren überwiegend kleiner als bei dem Verfahren basierend auf der Hilbert-Transformation. Außerdem muss bei der Hilbert-Transformation manuell ein Auswertebereich festgelegt werden, damit das Rauschen in den Messdaten das Ergebnis nicht stört.

Detaillierte Informationen zu der Untersuchung finden sich unter [2].

Literatur:

[1] Leonard Klaus, Michael Kobusch, “Experimental Method for the Non-Contact Measurement of Rotational Damping” in Proc. of Joint IMEKO International TC3, TC5 and TC22 Conference, 2014, Kapstadt, Südafrika, 2014, www.imeko.org/publications/tc22-2014/IMEKO-TC3-TC22-2014-003.pdf

[2] Leonard Klaus, “Comparison of Hilbert Transform and Sine Fit Approaches for the Determination of Damping Parameters”, Proc. of XXI IMEKO World Congress 2015, Prag, Tschechische Republik, 2015, www.imeko.org/publications/wc-2015/IMEKO-WC-2015-TC15-323.pdf

Ansprechpartner:

Leonard Klaus, FB 1. 7, AG 1. 73, E-Mail: leonard.klaus(at)ptb.de
Michael Kobusch, FB 1. 7, AG 1. 73, E-Mail: michael.kobusch(at)ptb.de

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