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Physikalisch-Technische Bundesanstalt

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Messunsicherheit
Arbeitsgruppe 8.42


Ein vollständiges Messergebnis erfordert eine quantitative Angabe der zugehörigen Messunsicherheit. Dies ist insbesondere bei der Beurteilung von Produkt-Spezifikationen sowie bei der Rückführung einer Messung auf nationale Standards wesentlich. Der “Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement” (GUM) ist mittlerweile der de facto Standard zur Bestimmung von Messunsicherheiten in der Metrologie. Entsprechend dem GUM ist die Standardmessunsicherheit ein “dem Messergebnis zugeordneter Parameter, der die Streuung der Werte kennzeichnet, die vernünftigerweise der Messgröße zugeordnet werden können“. Im GUM ist die Bestimmung der Messunsicherheit für unterschiedliche Szenarien festgelegt, z.B. wenn eine Reihe von Messwerten vorliegt oder wenn andere Information über die Messgröße vorhanden ist. Ein wesentliches Konzept der Methodik des GUM ist das Modell, das den Zusammenhang zwischen der Messgröße und den so genannten Eingangsgrößen festlegt. Anhand der Schätzwerte und der zugeordneten Messunsicherheiten der Eingangsgrößen werden unter Verwendung des Modells der Schätzwert und die beigeordnete Messunsicherheit der Messgröße bestimmt. Dies erfolgt nach dem Prinzip der “Fortpflanzung von Messunsicherheiten“.

 

 

Abb. 1:  Veranschaulichung der “Fortpflanzung von Messunsicherheiten“ entsprechend dem GUM.


In einer kürzlich veröffentlichten Ergänzung (GUM S1) zum GUM wird eine Monte Carlo Methode (MCM) zur Berechnung von Messunsicherheiten vorgeschlagen. Mittels der MCM wird numerisch eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (probability density function, PDF) bestimmt, in der die Information über die gesuchte Größe kodiert ist.  Der Schätzwert für die Messgröße und die beigeordnete Messunsicherheit werden als der Erwartungswert und die Standardabweichung dieser PDF berechnet. Die im GUM S1 angewandte Methodik ist eng verwandt mit einem Bayesschen Ansatz zur Bestimmung von Messunsicherheiten. Ebenso wie im GUM wird im GUM S1 ein Modell zugrunde gelegt, das den Zusammenhang zwischen den Eingangsgrößen und der Messgröße beschreibt. Mittels der MCM wird dann ausgehend von der (Verbund-)Verteilung der Eingangsgrößen die Verteilung der Messgröße berechnet (“Fortpflanzung von Verteilungen“). Ein wesentlicher Vorteil des GUM S1 Ansatzes besteht in der vollständigen Berücksichtigung nicht-linearer Modelle. Das GUM S1 ist vom “Joint Committee for Guides in Metrology“  (JCGM) erstellt worden und ist (zusammen mit dem “International Vocabulary of Metrology“, VIM) auf der BIPM Webseite  erhältlich.

 

      

Abb. 2: Veranschaulichung der “Fortpflanzung von Verteilungen“ entsprechend dem GUM S1.


Die im GUM (bzw. GUM S1) beschriebenen Verfahren decken eine Vielzahl metrologischer Anwendungen ab. Für komplexere Situationen ist die Entwicklung von Verfahren zur Bestimmung von Messunsicherheiten Gegenstand aktueller Forschung. Gegenwärtig beschäftigen wir uns dabei mit folgenden Themen

  • Entwicklung und Anwendung von Verfahren die auf der Bayesschen Statistik beruhen
  • (Markov Chain) Monte Carlo Methoden zur numerischen Berechnung  von  “posterior PDFs“

In Abb. 3 ist die Anwendung des GUM S1 zur Berechung der PDF für eine Messgröße in einem einfachen Beispiel veranschaulicht. Falls zusätzlich das Vorwissen vorliegt, dass die Messgröße nicht negativ werden kann, kann dies zur Verbesserung des Ergebnisses verwendet werden. Im GUM S1 ist die Berücksichtung von Vorwissen nicht vorgesehen; das dem GUM S1 zugrunde liegende Verfahren kann jedoch leicht entsprechend erweitert werden [6]. Wie in Abb. 3 dargestellt, kann die Berücksichtigung von zusätzlichem Vorwissen zu einer deutlichen Verbesserung des Ergebnisses führen.

 

   

Abb. 3:  Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) mit (grün) und ohne (rot) Berücksichtigung von Vorwissen. Die senkrecht verlaufenden gestrichelten/durchgezogenen Linien geben die 95% Vertrauensintervalle an, die sich mit/ohne Berücksichtigung des Vorwissens ergeben.



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