Physikalisch-Technische Bundesanstalt

  Bei der Charakterisierung von periodischen Oberflächenstrukturen im Mikro- und Nanometerbereich wie sie in auf Fotolithographiemasken auftreten, gewinnt die Methode der Scatterometrie an Bedeutung. Die zu untersuchende Probe wird dabei mit monochromatischem oder breitbandigem Licht unter verschiedenen Einfallswinkeln bestrahlt. Das reflektierte bzw. transmittierte Licht wird winkelaufgelöst gemessen. Der Aufbau scatterometrischer Messungen, so wie sie z.Z. in den PTB-Fachbereichen 4.2 und 7.1 durchgeführt werden, ist schematisch in Abbildung 1 dargestellt. Da hier keine abbildende Optik angewandt wird, können Profilparameter der Struktur und Verteilung ihrer optischen Eigenschaften nur indirekt aus dem gemessenen gestreuten Licht bestimmt werden. Die Anteile der Lichtenergie in die einzelnen Beugungsrichtungen, d.h. ihre Effizienzen, und die Phasenverschiebungen werden entscheidend vom Profil, dem Aufbau und der Verteilung der optischen Indizes geprägt. Das inverse Problem stellt sich hier als Profilrekonstruktion: Geometrieparameter wie z.B. Breite, Höhe und Kantenwinkel von Gitterlinien sowie ihre optischen Materialkonstanten sind aus den gemessenen reflektierten und transmittierten Moden abzuleiten. Bild 2 zeigt den Querschnitt einer typischen CoG-Lithographie-Maske (Chrom auf Glas) mit trapezförmigem und periodischem Aufbau der Gitterstege.

Abb. 1: Scatterometrisches Messschema.

Mathematische Basis für die Modellierung der Ausbreitung elektromagnetischer Wellen in Materie sind die Maxwell-Gleichungen. Ihre numerische Lösung, hier für den Fall der Wechselwirkung des Lichtes mit Fotolithographiemasken, repräsentiert die Lösung eines direkten Problems, das auch als ,,Vorwärtsproblem´´ bezeichnet wird. Dabei werden aus den Daten des einfallenden Lichtes und charakteristischen Parametern des bestrahlten Gitters die Effizienzen und Phasenverschiebungen für die verschiedenen Beugungsrichtungen berechnet. Es gibt heute eine Reihe von numerischen Methoden, die die Maxwell-Gleichungen lösen. Insbesondere die Finite Elemente Methode (FEM) hat sich bei der Lösung von Randwertproblemen bei Differentialgleichungen bewährt und wird hier für Vorwärtsrechnungen an Gitterprofilen eingesetzt. Die DIPOG-Software des Weierstraß-Institut für Angewandte Analysis und Stochastik z.B. nutzt FEM zur Bearbeitung von direkten und inversen Problemen für optische Gitter. Der große Vorteil der FEM bei der Berechnung der numerischen Lösung der partiellen Differentialgleichungen für das Streuproblem ist die Möglichkeit, mit heute verfügbaren Triangulierungsprogrammen quasi beliebig strukturierte Gitter (mit vielfältig geformten Grenzflächen) behandeln zu können.

Abb. 2: CoG Gitter – Chrom auf Glas-Lithographiemaske.

Die Bestimmung der Profilparameter des streuenden Gitters aus scatterometrisch gemessenen Effizienzen und Phasenverschiebungen ist ein Optimierungsproblem. Mit Hilfe von FEM Rechnungen und Minimierung eines Funktionals wird aus den Messdaten auf die Streugeometrie geschlossen. Die Eindeutigkeit der gefundenen ‚minimalen’ Lösung für die parametrisierte Identifikation des Gitters kann theoretisch aber nicht bewiesen werden. Trotzdem kann erwartet werden, dass bei ausreichend vielen gemessenen Effizienzen bzw. Phasenverschiebungen und nicht zu großzügig gewählten Grenzen für die Systemparameter genaue Identifikationsergebnisse erreicht werden. Erste Ergebnisse für die Lösung des inversen Problems mit simulierten Daten für verschiedene CoG-Masken bestätigen dies.

Beispielhaft ist in Abbildung 3 der Verlauf des Funktionals in Abhängigkeit der Chromoxid-Schichtdicke und der Chrom-Schichtdicke (s. Abb. 2) dargestellt. Von den gemessenen bzw. simulierten Effizienzen wurden die reflektierten und transmittierten Werte für die Beugungsordnungen 0 und -1 bei vier verschiedenen Einfallswinkeln als Eingabedaten für die Funktionalberechnung bei der Variation der beiden Dicken genommen. Ein ausgeprägtes Minimum ist genau an der richtigen Stelle zu erkennen. An diesem Bild wird aber auch deutlich, dass eine falsche bzw. ungünstige Wahl der Anfangslösung bzw. des Startwertes für die Dicke der Chromoxidschicht, nämlich ein Wert größer als 60 nm, zu einem falschen Rekonstruktionsresultat führt. Die eingesetzten gradientenbasierten Optimierungsverfahren würden dann ein lokales Minimum jenseits des hohen ‚Funktional-Rückens’ finden, der sich bei einer Schichtdicke von 0.06 µm ausbildet. Mit anderen Worten: eine erfolgreiche Rekonstruktion der Streugeometrie setzt voraus, dass es ein hinreichendes Vorwissen über ihre Eigenschaften gibt.

Abb. 3: Funktionalverlauf für einen Rekonstruktionstest.
 

Eine weitere wichtige Funktion der inversen Methode besteht in der Optimierung der Messparameter. Eine Rekonstruktion der Profile aus Daten, die durch Vorwärtsrechnungen erzeugt werden, zeigt, dass ihr Erfolg stark vor den Eingabedaten, d. h. den Messdaten abhängt.
So können wir aus dem Beispiel in Bild 4 schließen, dass die Messung der Streueffizienzen für einen einzigen Einfallswinkel vermutlich nicht für eine erfolgreiche Rekonstruktion ausreicht. Eine mathematische Methode zur problemabhängigen Bestimmung günstiger und ausreichender Messdaten ist deshalb entscheidend für eine sichere Profilrekonstruktion in der Scatterometrie.