Rotierende Spiralwellen sind häufig auftretende selbstorganisierte Muster in Systemen fern vom thermodynamischen Gleichgewicht. Sie treten in chemischen Reaktionen, auf dem Herzmuskel, bei Konvektion in einer Flüssigkeitsschicht sowie in Aggregaten von Schleimpilzen auf. Viele dieser Systeme sind mathematisch durch Reaktions-Diffusions-Modelle beschreibbar. Unsere Arbeiten befassen sich mit dem Übergang zwischen regulären Spiralmustern und raumzeitlich chaotischen Strukturen. Dabei werden sowohl numerische Simulationen als auch die numerische Stabilitätsanalyse als Werkzeuge der Analyse eingesetzt. Die benützten Modelle sind entweder einfache zweikomponentige Aktivator-Inhibitor-Modelle (modifiziertes Barkley-Modell) oder die komplexe Ginzburg-Landau-Gleichung.
Abb. 1: Zeitentwicklung des "Core-breakup" einer rotierenden Spiralwelle. Die chaotische Dynamik breitet sich aus dem Spiralzentrum nach außen aus.
In Experimenten und Simulationen finden sich zwei grundlegend verschiedene Szenarien: Entstehung durch (a) Spiralaufbrechen nahe des Rotationszentrum ("Core") der Spirale (Bild 1) und durch (b) Spiralaufbrechen weit weg vom "Core" ("Far-Field", Bild 2). Die numerische Stabilitätsanalyse liefert weitere, relevante Details. Grundsätzlich kann der Übergang zum Chaos sowohl durch eine lineare Instabilität einfacher Spiralwellen als auch durch eine Sattel-Knoten-Bifurkation sogenannter Superspiralen verursacht werden. In allen von uns betrachteten Fällen tritt die Instabilität in radialer Richtung auf. Im einzelnen beobachten wir sowohl die wohlbekannte Eckhaus-Instabilität als auch Periodenverdopplung sowie eine Instabilität mit kurzer Wellenlänge in den in radialer Richtung ausgesandten periodischen Wellenzügen. Eine vollständige Beschreibung der Spiralinstabilitäten erfordert auch die Betrachtung des Unterschieds zwischen konvektiver und absoluter Instabilität, wobei letztere für das Auftreten der Spiralinstabilität ausschlaggebend ist. Schließlich konnten wir zeigen, dass der Ort des Spiralaufbrechens von der Lage des Maximums des kritischen Eigenvektors wesentlich bestimmt wird.
Abb. 2: Zeitentwicklung des "Far-Field-Breakup" einer rotierenden Spiralwelle. Die chaotische Dynamik entsteht erst einige Wellenlängen vom "Core" entfernt.
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